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Introduction to PyTorch
- 1. RTSS Jun YoungPark Introduction to PyTorch
- 2. Objective Understanding AutoGrad Review Logistic Classifier Loss Function Backpropagation Chain Rule Example : Find gradient from a matrix AutoGrad Solve the example with AutoGrad Data Parallism in PyTorch Why should we use GPUs? Inside CUDA How to parallelize our models Experiment
- 3. Simple but powerfulimplementation of backpropagation Understanding AutoGrad
- 4. Logistic Classifier (Fully-Connected) 𝑊𝑋+ b = y 2.0 1.0 0.1 p = 0.7 p = 0.2 p = 0.1 S(y) ProbabilityLogits X : Input W, b : To be trained y : Prediction S(y) : Softmax function (Can be other activation functions) A B C 𝑆 𝑦 = 𝑒 𝑦 𝑖 𝑖 𝑒 𝑦 𝑖 represents the probabilities of elements in vector 𝑦. A Instance
- 5. Distance A 0.7 0.2 0.1 Probability 1 0 0 One-Hot Encoded A B C MAX Loss Find W,b that minimize the loss(error). Predict Label
- 6. Loss Function Thevector can be very large when there are a lot of classes. How can we find the distance between vector S(Predict) and L(Label) ? 𝐷 𝑆, 𝐿 = − 𝑖 𝐿𝑖 log(𝑆𝑖) 0.7 0.2 0.1 1.0 0.0 0.0 S(y) L ※ D(S,L) ≠ D(L,S) Don’t worry to take log(0) 𝑆 𝑦 = 𝑒 𝑦𝑖 𝑖 𝑒 𝑦 𝑖
- 7. In-depth of Classifier Letthere’re equations … 1. Affine Sum 𝜎(𝑥) = 𝑊𝑥 + 𝐵 2. Activation Function 𝑦(𝜎) = 𝑅𝑒𝐿𝑈 𝜎 3. Loss Function 𝐸 𝑦 = 1 2 𝑦𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 − 𝑦 2 4. Gradient Descent 𝑤 ← 𝑤 − 𝛼 𝜕𝐸 𝜕𝑤 𝑏 ← 𝑏 − 𝛼 𝜕𝐸 𝜕𝑏 • Gradient Descent requires 𝜕𝐸 𝜕𝑤 and 𝜕𝐸 𝜕𝑏 . • How can we find them? -> Use chain rule ! 𝑦𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 : Training data 𝑦 : Prediction result
- 8. Chain Rule • Lety(x) is defined below, 𝑥 influences 𝑔 𝑥 and 𝑔 𝑥 influences 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) • Find derivation of y(x) 𝑦′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 • in Liebniz notation… 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑔 𝑑𝑔 𝑑𝑥 = 1 ∗ 𝑓′ 𝑔 𝑥 ∗ 𝑔′(𝑥)
- 9. Chain Rule 𝜕𝐸 𝜕𝑤 = 𝜕𝐸 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝜎 𝜕𝜎 𝜕𝑤 = 𝑥 𝑦− 𝑦𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 (𝜎 > 0) 0 (𝜎 ≤ 0) 𝜕𝐸 𝜕𝑦 = 𝑦 − 𝑦𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 , 𝜕𝑦 𝜕𝜎 = 1 (𝜎 > 0) 0 (𝜎 ≤ 0) , 𝜕𝜎 𝜕𝑤 = 𝑥 Let there’re equations … 1. Affine Sum 𝜎(𝑥) = 𝑊𝑥 + 𝐵 2. Activation Function 𝑦(𝜎) = 𝑅𝑒𝐿𝑈 𝜎 3. Loss Function 𝐸 𝑦 = 1 2 𝑦𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 − 𝑦 2 4. Gradient Descent 𝑤 ← 𝑤 − 𝛼 𝜕𝐸 𝜕𝑤 𝑏 ← 𝑏 − 𝛼 𝜕𝐸 𝜕𝑏
- 10. Example : Findinggradient of 𝑋 Let input tensor 𝑋 is initialized by following square matrix of 3rd order. 𝑋 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 And 𝑌, 𝑍 is defined following … 𝑌 = 𝑋 + 3 𝑍 = 6(𝑌)2 = 6( 𝑋 + 3)2 And output 𝛿 is the average of tensor 𝑍 𝛿 = 𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑍 = 1 9 𝑖 𝑗 𝑍𝑖𝑗
- 11. Example : Findinggradient of 𝑋 We can find scalar 𝑍𝑖𝑗 from its definition (Linearity) 𝑍𝑖𝑗 = 6(𝑌𝑖𝑗)2 𝑌𝑖𝑗 = 𝑋𝑖𝑗 + 3 To find gradient, We use ‘Chain Rule’ so that we can find partial gradients. 𝜕𝛿 𝜕𝑍𝑖𝑗 = 1 9 , 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 = 12𝑌𝑖𝑗, 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 1 𝜕𝛿 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 𝜕𝛿 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 1 9 ∗ 12𝑌𝑖𝑗 ∗ 1 = 4 3 𝑋𝑖𝑗 + 3
- 12. Example : Findinggradient of 𝑋 Thus, We can get a gradient of (1,1) element of 𝑋 𝜕𝛿 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 4 3 𝑋𝑖𝑗 + 3 |(𝑖, 𝑗)=(1,1) = 4 3 1 + 3 = 16 3 Like this, We can get whole gradient matrix of 𝑋 … 𝜕𝛿 𝜕 𝑋 = 𝜕𝛿 𝜕𝑋11 𝜕𝛿 𝜕𝑋12 𝜕𝛿 𝜕𝑋13 𝜕𝛿 𝜕𝑋21 𝜕𝛿 𝜕𝑋22 𝜕𝛿 𝜕𝑋23 𝜕𝛿 𝜕𝑋31 𝜕𝛿 𝜕𝑋32 𝜕𝛿 𝜕𝑋33 = 16 3 20 3 24 3 28 3 32 3 36 3 40 3 44 3 48 3
- 13. AutoGrad : Findinggradient of 𝑋 𝑋 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝑌 = 𝑋 + 3 𝑍 = 6(𝑌)2 = 6( 𝑋 + 3)2 𝛿 = 𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑍 = 1 9 𝑖 𝑗 𝑍𝑖𝑗 𝜕𝛿 𝜕𝑋 = 𝜕𝛿 𝜕𝑋11 𝜕𝛿 𝜕𝑋12 𝜕𝛿 𝜕𝑋13 𝜕𝛿 𝜕𝑋21 𝜕𝛿 𝜕𝑋22 𝜕𝛿 𝜕𝑋23 𝜕𝛿 𝜕𝑋31 𝜕𝛿 𝜕𝑋32 𝜕𝛿 𝜕𝑋33 = 16 3 20 3 24 3 28 3 32 3 36 3 40 3 44 3 48 3 Each operation has its gradient function.
- 14. Back Propagation Getderivatives using ‘Back Propagation’ + 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 1 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝜕𝐿 𝜕𝑧 x 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 = 𝑥𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑦, 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝐿 𝜕𝑧 ∙ 𝑦 From output signal 𝐿 … 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝜕𝐿 𝜕𝑧 ∙ 𝑥
- 15. Back Propagation Howabout exponentation function? ^ 𝑛 𝑥 𝑧 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 , 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = 𝑥 𝑛 ln 𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝐿 𝜕𝑧 (𝑛𝑥 𝑛−1 ) From output signal 𝐿 … 𝑧 = 𝑥 𝑛 ln 𝑧 = 𝑛 ln 𝑥 1 𝑧 𝑑𝑧 = ln 𝑥 𝑑𝑛 𝑑𝑧 𝑑𝑛 = 𝑧 ln 𝑥 = 𝑥 𝑛 ln 𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = 𝜕𝐿 𝜕𝑧 (𝑥 𝑛 ln 𝑥)
- 16. Appendix : OperationGraph of 𝛿 (Matrix) +𝑋11 ^ 𝑌11 x 2 2 6 x 1 9 + 𝑍11 𝑋12 … … … 𝑋33 … … … … 𝑍12 𝑍33 𝛿 … 𝑍𝑖𝑗 = 6(𝑌𝑖𝑗)2 𝛿 = 𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑍
- 17. Appendix : OperationGraph of 𝛿 (Scalar) - Backpropagation +𝑋𝑖𝑗 ^ 𝑌𝑖𝑗 x 2 6 x 1 9 + 𝑍𝑖𝑗 𝛿 +𝑋𝑖𝑗 ^ x x+ 𝑍 𝑠𝑢𝑚 2 𝛽𝑖𝑗𝛼𝑖𝑗 𝜕𝛿 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 𝜕𝛿 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 𝜕𝛿 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 1 9 ∗ 1 ∗ 6 ∗ 2𝑌𝑖𝑗 ∗ 2 = 4 3 (𝑋𝑖𝑗 + 3) 𝜕𝛿 𝜕𝛽𝑖𝑗 = 1 9 𝜕𝛿 𝜕𝑍𝑖𝑗 = 1 9 ∗ 1 𝜕𝛿 𝜕𝛼𝑖𝑗 = 1 9 ∗ 1 ∗ 6 = 𝜕𝛿 𝜕𝛽𝑖𝑗 = 𝜕𝛿 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 = 𝜕𝛿 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗 = 𝜕𝛿 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 = 𝜕𝛿 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝛽𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝑍𝑖𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑌𝑖𝑗 𝜕𝑋𝑖𝑗 𝜕𝛿 𝜕𝑌𝑖𝑗 = 1 9 ∗ 1 ∗ 6 ∗ 2𝑌𝑖𝑗 𝜕𝛿 𝜕𝑋𝑖𝑗 = 4 3 (𝑋𝑖𝑗 + 3) 𝜕𝛿 𝜕𝛿 = 1 𝛿
- 18.
- 19.
- 20. Why GPU? (CUDA) TT Core T T Core T T Core T T Core T T Core T T Core … 3584 cores Good for few huge tasks Good for enormous small tasks 3.6 GHz 1.6 GHz (2.0 GHz @ O.C)
- 21. Dataflow Diagram CPU GPU MemoryMemorycudaMemcpy() cudaMalloc() __global__ sum() hello.cu NVCC Co-processor CPU GPU d_a d_b d_out h_a h_b h_out 1.Memcpy sum 2.Kernal call (cuBLAS) 3.Memcpy
- 22. CUDA on MultiGPU System Quad SLI 14,336 CUDA cores 48GB of VRAM How can we use multi GPUs in PyTorch?
- 23. Problem - Low utilization Onlyallocated single GPU. Zero Utilization Redundant Memory
- 24. Problem - Duration &Memory Allocation Large batch size causes lack of memory. Out of memory error from PyTorch -> Python kernel dies. Can’t set large batch size. Can afford batch_size = 5, num_workers = 2 Can’t divide up the work with the other GPUs Elapsed Time : 25m 44s (10 epochs) Reached 99% of accuracy in 9 epochs (for training set) It takes too much time.
- 25. Data Parallelism inPyTorch Implemented using torch.nn.DataParallel() Can be used for wrapping a module or model. Also support primitives (torch.nn.parallel.*) Replicate : Replicate the model on multiple devices(GPUs) Scatter : Distribute the input in the first-dimension. Gather : Gather and concatenate the input in the first-dimension. Apply-Parallel : Apply a set of already-distributed inputs to a set of already-distributed models. PyTorch Tutorials – Multi-GPU examples https://pytorch.org/tutorials/beginner/former_torchies/parallelism_tutorial.html
- 26. Easy to Use: nn.DataParallel(model) - Practical Example 1. Define the model. 2. Wrap the model with nn.DataParallel(). 3. Access layers through ‘module’
- 27. After Parallelism - GPUUtilization Hyperparameters Batch Size : 128 Number of Workers : 16 High Utilization. Can use large memory space. Allocated all GPUs
- 28. After Parallelism - TrainingPerformance Hyperparameters Batch Size : 128 Large batch size need more memory space Number of Workers : 16 Recommended to set (4 * NUM_GPUs) – From the forum Elapsed Time : 7m 50s (10 epochs) Reached 99% of accuracy in 4 epochs (for training set). It just taken 3m 10s.
- 29.
Editor's Notes
- #3 PyTorch 에서 제공하는 자동 미분 기능인 AutoGrad 를 이해하기 위해… Deep Learning 의 기초 이론을 다지고 Backpropagation 을 좀더 깊게 살펴본다. 그리고 그 Backpropagation 과 AutoGrad 의 구현을 보며 차이점을 이해한다. GPU 를 사용하는 이유와 CUDA 연산의 과정을 보고 PyTorch 에서 제공하는 데이터 병렬화 Method 의 사용법을 본다. 그리고 다중 GPU와 단일 GPU의 성능을 비교한다.
- #4 Backpropagation 을 쉽게 구현한 모듈.
- #5 로지스틱 분류기의 기본적인 형태는 1차 선형 함수 꼴. (WX+b = y) 이 때 X 는 입력, W, b 는 가중치와 편향 (학습을 한다는 것은 적절한 가중치와 편향을 찾는 것.) Y 는 예측 결과 –> 이 결과 (Logits) 를 확률로 변환 (Softmax Function) 왜 ? : Logit이 매우 커질수도 있으니 이를 0~1 사이의 간단한 값으로 변환. 확률이 제일 높은 것으로 분류 클래스가 두개 ? : Logistic Classification 클래스가 여러 개 ? : Softmax/Multinomial Classification
- #6 클래스를 수로 나타내려면 ? 벡터에서 해당하는 클래스가 참의 값을 가지게 하면 됨. (제일 높은 확률을 갖는 클래스) Ex) 클래스 A ? -> [ 1 0 0 0 0 ….. ] : 클래스 A에 해당하는 인덱스의 값만 참, 나머지는 거짓
- #7 정답과 예측간의 거리 : Cross-Entropy Softmax will not be 0, 순서주의 즉 값이 작으면(가까우면) 옳은 판단. S(y) 의 합은 1이고 각 인스턴스는 0보다 큰 값을 가지므로 log(0) 에 대한 문제가 발생하지 않는다.
- #10 연쇄 법칙에 따라 Loss Function E 의 w 에 대한 미분은 다음과 같음. 이는 곧, w가 변할때 E가 변하는 정도는 합성된 함수에 의한 변화량의 곱과 같음. Y 가 E에 영향을 주고 시그마가 y에 영향을 주고 w가 시그마에 영향을 주는 것으로 나누어 표현. 각각에 대한 미분을 구하면 다음과 같음. 이 때, ReLU 는 Non-linear Function 이므로 구간을 나누어 미분.
- #11 위와같이 연산 정의…
- #12 행렬을 그대로 연산하기는 번거로우므로, 단일 요소에 대한 스칼라 표현을 사용. 그리고 부분 미분을 구하면… 이렇게 나오고 이것을 합성함수로 표시하면
- #13 X에 1행 1열 원소인 1을 대입하면 다음과 같이 나옴. 마찬가지로 다른 원소들을 다시 원본 표현인 행렬로 나타내면 다음과 같고 결과는 저렇게 나옴.
- #14 Gradient Function 은 결국 가장 기본적인 계산 노드의 Backpropagation 을 의미.
- #15 합성함수에 대하여 제대로 알았으므로 역전파로 가보자. x 와 y 가 z 에 값에 얼마나 영향을 줬는가? 즉, x 와 y 가 변할 때 z 가 어떻게 변하는가? 역전파 : 신호에 노드의 국소적 미분을 곱한 후 다음 노드로 전달 (거꾸로) 더하기 노드의 역전파는 이전 신호를 그대로 전파. 곱하기 노드의 역전파는 이전 신호에 반대편 신호를 곱한 신호를 전파.
- #16 제곱함수 노드와 그에 대한 순전파, 역전파는 다음과같이 나타남. 마찬가지로 z 에 대하여 x 와 n 이 주는 영향을 찾는다는 점에서 같음. 그렇게 구하면 다음과 같이 나옴.
- #17 행렬에 대한 계산 그래프를 나타내면 다음과 같음. 여러 요소에 대하여 각각 계산 후 그 원소 수와 합을 이용하여 평균을 구함.
- #18 행렬에 대한 표현은 이해하기 어려우므로, 각 원소에 대하여 Scalar 로 표시하도록 하자. 앞서 다룬 역전파 원리에 이해 아래와 같이 구해짐.