Matematika

Matematika (nga greqishtja: μάθημα máthēma, "njohuri, dije, mësim") përbën një fushë të njohurive abstrakte të ndërtuara me ndihmën e arsyetimeve logjike mbi koncepte të tilla si numrat, figurat, strukturat dhe transformimet. Matematika është një shkencë abstrakte dhe teorike që shqyrton strukturat, modelet, dhe marrëdhëniet mes tyre. Ajo është një sistem logjik dhe racional që studion ligjësitë abstrakte me anë të simboleve dhe shprehjeve matematikore.

Matematika përfshin shumë fusha të ndryshme, ndër të cilat:

Algjebra: Studion strukturat algjebrike, duke përfshirë shprehjet dhe ekuacionet.
Gjeometria: Merret me format dhe dimensionet gjeometrike, përfshirë figurat dhe raportet e tyre në hapësirë.
Analiza Matematike: Hulumton koncepte si limitet, derivatet dhe integralet, duke përfshirë analizën diferenciale dhe integrale.
Teoria e Numrave: Studion vetitë e numrave dhe marrëdhëniet midis tyre (numrat e plotë, racionalë, realë, etj.).
Logjika Matematike: Studion rregullat dhe mënyrat e përdorimit të arsyetimit dhe logjikës në matematikë.
Teoria e Grupeve: Merret me grupet dhe strukturat algjebrike që kanë një operacion të caktuar.
Teoria e Kategorive: Është një degë e matematikës që shqyrton marrëdhëniet e përgjithshme dhe kalimet midis strukturave të ndryshme matematikore.

Zhvillimi i matematikës ka ndodhur përgjatë shumë periudhave historike dhe kultura të ndryshme kanë kontribuar në pasurimin e saj. Nga matematika e lashtë greke tek matematika moderne, konceptet dhe metodat janë shtrirë për të krijuar një fushë jashtëzakonisht të thellë dhe komplekse.

Matematika dallohet nga shkencat e tjera për lidhjen e saj të veçantë me realitetin. Ajo është e një natyre të pastër intelektuale, e bazuar tek një seri aksiomash të deklaruara të vërteta (që do të thotë se aksiomat nuk i nënshtrohen eksperimenteve fizike, por frymëzohen nga eksperienca logjike) ose mbi disa postulate të pranuara. Një pohim matematikor – i quajtur përgjithësisht teoremë ose propozicion – konsiderohet i vërtetë nëse procesi i vërtetimit formal që përcakton vlefshmërinë e saj respekton një strukturë arsyetuese logjiko-deduktive.

Ajo është një mjet thelbësor në shumë fusha si shkencat natyrore, inxhinieria, mjekësia, financa dhe shkencat sociale. Matematika merret me studimin e raporteve sasiore dhe cilësore të objekteve konkrete dhe abstrakte, si dhe me studimin e formave hapësinore. Ajo ka një lidhje simbiotike edhe me fizikën.

Etimologjia

Fjala "matematikë" vjen nga gjuha e lashtë greke (μάθημα - máthema), që do të thotë mësim, studim, shkencë. Përgjatë kohëve ajo ka marrë një kuptim më të ngushtë dhe më teknik që nënkupton "studim matematikor".

Historia e matematikës

Fillimet e matematikës humbasin në thellësitë e shekujve. Ajo u shfaq si rezultat i vështrimeve dhe përvojës së njerëzve në përballje me problemet dhe nevojat praktike. Sistematizimi dhe përmbledhja e njohurive matematikore ka filluar relativisht vonë. Kinezët e lashtë, egjiptianët e lashtë, babilonasit, qytetërimi i Inkëve, si dhe në Indi kishte një zhvillim të konsiderueshëm të veprimeve matematikore.

Në Greqinë antike matematika përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh si: Pitagora, Talesi, Platoni, Eudoksi, Euklidi, Arkimedi, etj. Grekët e vjetër matematikën e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që të vërtetat matematikore (të cilat i quanin teorema) i vërtetonin me fakte. Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i pasuruan arabët, të cilët quhen edhe themeluesit e algjebrës. Përkthimet arabe të veprave të matematikanëve grekë në Mesjetë depërtuan më pas në Evropë.

Më vonë, zhvillimin e matematikës e morën në dorë evropianët. Në këtë periudhë mund të përmendim Vietin, Cardanon, Fibonaccin, etj. Për t'u pasuar në shekujt në vijim nga Descartes, Pascal, Leibniz, Bernoulli, Gauss, Euler, etj. Në fund të shekullit XIX, David Hilbert, një matematikan i shkëlqyer gjerman, në Kongresin Ndërkombëtar të Matematikanëve të mbajtur në Paris në vitin 1900 formuloi njëzet e tre (23) probleme matematikore, të cilat shekulli XIX ia la në trashëgimi shekullit XX. Shumë prej këtyre problemeve i preokupuan matematikanët nga e gjithë bota për një kohë të gjatë dhe shumica e tyre u zgjidhën pas një pune të palodhshme.

Matematika në ditët e sotme përjeton një zhvillim marramendës dhe është e shpërndarë në shumë degë të specializuara të cilat janë mjaft abstrakte. Në vitin 2000, Instituti i Matematikës Clay (Clay Mathematics Institute) ofroi një çmim prej një milion dollarësh për zgjidhjen e cilitdo prej shtatë "Problemeve të Mijëvjeçarit". Deri më sot, i vetmi problem i zgjidhur është Hipoteza e Poincaré-së, e zgjidhur nga Grigori Perelman (i cili e refuzoi çmimin). Gjashtë problemet e tjera mbeten ende të hapura.

Matematika në ndërveprim me shkencat e tjera ndihmon në zhvillimin e tyre, por në të njëjtën kohë ajo edhe vetë pasurohet. Sot matematika ka depërtuar edhe në ato degë të shkencës në të cilat deri para pak kohësh as që ishte e imagjinueshme.

Simbolet dhe gjuha matematikore

Shumica e simboleve që përdoren sot në matematikë nuk ishin zbuluar deri në shekullin XVI. Matematika shkruhej me fjalë dhe kjo e kufizonte jashtëzakonisht zhvillimin e saj. Në shekullin XVIII, Euleri futi në matematikë një numër të madh simbolesh të cilat përdoren gjerësisht edhe sot. Simbolizmi matematikor sot është shumë i rëndësishëm për profesionistët. Ai është shumë i ngjeshur sepse vetëm pak simbole mund të shprehin një sasi të madhe informacioni. Simbolizmi modern ka një sintaksë të përcaktuar rreptësisht e cila përshkruan informacione në lidhje me një teori të caktuar. Gjuha e matematikës ruan një nivel mjaft të lartë saktësie që shpesh është e vështirë për t'u lexuar nga jo-matematikanët.

Konceptet matematikore

Konceptet dhe strukturat themelore matematikore nuk studiohen vetëm si njësi të posaçme e të izoluara, por në ndërlidhje të ngushtë me njëra-tjetrën. Asnjë prej koncepteve matematikore nuk paraqitet në "vakum". Këto koncepte trajtohen në kontekste të ndryshme teorike dhe praktike, duke gjetur zbatim në situata të larmishme shkencore dhe jashtë-matematikore.

Estetika dhe frymëzimi në matematikën e pastër dhe të aplikuar

Matematika del natyrshëm në trajtimin e llojeve të ndryshme të problemeve. Së pari këto u gjetën në tregti, në matjen e tokës, në arkitekturë dhe më vonë në astronomi; në ditët e sotme, të gjitha shkencat merren me probleme që studiohen thellësisht nga matematikanët. Për shembull, fizikani Richard Feynman shpiku metodën e integralit të shtegjeve në mekanikën kuantike duke përdorur një kombinim të arsyetimit matematikor dhe depërtimit fizik të problemit. Në ditët e sotme teoria e kordave, një teori ende në zhvillim e cila përpiqet për bashkimin e katër forcave themelore të natyrës, vazhdon të frymëzojë degë të reja në matematikë.^[1]

Disa metoda matematike janë të vlefshme vetëm në zonat përkatëse që i dhanë shkas asaj metode, por shpesh matematika e frymëzuar nga një fushë e caktuar del të jetë e dobishme në shumë fusha të tjera. Një dallim bëhet shpesh mes matematikës së pastër dhe matematikës së aplikuar. Megjithatë tema nga matematika e pastër shpesh gjejnë aplikime direkte (p.sh. teoria e numrave përdoret ngushtësisht në kriptografi). Fakti që edhe matematika më e "pastër" shpesh rezulton të ketë aplikime praktike është ajo që fizikani Eugene Wigner e ka quajtur "Efektshmëria e paarsyeshme e Matematikës në shkencat natyrore".^[2]

Për ata që janë të prirur matematikisht, shpesh ka një aspekt të caktuar estetik. Shumë matematikanë flasin për hijeshinë e matematikës dhe bukurinë e saj të brendshme. Thjeshtësia dhe përgjithësimi janë parime tepër të vlerësuara. Bukuria duket në një vërtetim të thjeshtë dhe elegant, siç është prova e Euklidit që dëshmon se ka një numër pafundësisht të madh numrash të thjeshtë. G. H. Hardy në librin e tij Apologjia e matematikanit shprehu besimin se këto konsiderata estetike janë në vetvete të mjaftueshme për të justifikuar matematikën e pastër.^[3]

Biografi të matematikanëve të shquar

Fushat e matematikës

Sasitë

Studimi i sasive fillon me numrat, së pari me numrat natyrorë dhe numrat e plotë si dhe me operacionet aritmetike që kryhen me to. Vetitë më të avancuara të numrave studiohen në teorinë e numrave. Me zhvillimin e mëtejshëm të sistemit, numrat e plotë klasifikohen si një nënbashkësi e numrave racionalë (ose thyesave). Këta të fundit janë të përfshirë në bashkësinë e numrave realë, të cilët përdoren për të shprehur sasitë e vazhdueshme. Më tutje vetë numrat realë përfshihen në bashkësinë e numrave kompleksë.

$1,2,3,\dots$	$\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}$
Numrat natyrorë	Numrat e plotë	Numrat racionalë	Numrat realë	Numrat kompleksë

Struktura

Shumë objekte matematikore, si bashkësitë e numrave ose funksioneve, shfaqin një strukturë të brendshme si pasojë e veprimeve dhe relatave që janë përcaktuar në atë bashkësi.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Kombinatorika	Teoria e numrave	Teoria e grupeve	Teoria e grafeve	Teoria e rregullit

Hapësira


Gjeometria	Trigonometria	Gjeometria diferenciale	Topologjia	Gjeometria e fraktaleve	Teoria e masës

Ndryshimi i madhësive në kohë


Analiza	Analiza vektoriale	Ekuacionet diferenciale	Sistemet dinamike	Teoria e kaosit	Analiza komplekse

Themelet e matematikës dhe filozofia e saj

$p\Rightarrow q$
Logjika matematikore	Teoria e bashkësive	Teoria e kategorive

Informatika teorike


Teoria e llogaritjes	Kriptografia

Matematika e aplikuar

Matematika e aplikuar merret me përdorimin e mjeteve abstrakte matematikore për zgjidhjen e problemeve konkrete në shkencë, biznes, dhe në fusha të tjera.

Shiko edhe

Fizika

Lidhje të jashtme

Albmath Arkivuar 14 korrik 2007 tek Wayback Machine
BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture--Proved
Perelman refuses a million dollars to live in complete poverty
Mathworld
Encyclopedia of Mathematics
Mathematisches Lexikon
PlanetMath
OEIS
Plouffe's inverter
MacTutor
Cut the Knot
Matroids Matheplanet

Referime

↑ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
↑ Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Arkivuar 28 shkurt 2011 tek Wayback Machine" Communications on Pure and Applied Mathematics 13(1): 1–14.
↑ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1] Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)

[2] Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Arkivuar 28 shkurt 2011 tek Wayback Machine" Communications on Pure and Applied Mathematics 13(1): 1–14.

[3] Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]

[3]