Transformata Hilberta

Transformata Hilberta ${\widehat {g}}(t)$ funkcji $g(t)$ oraz transformata do niej odwrotna definiowana jest w następujący sposób:

${\widehat {g}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,$

$g(t)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\widehat {g}}(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .$

Jest to splot funkcji $g(t)$ z funkcją $h(t)={\frac {1}{\pi t}}.$

Transformata Fouriera funkcji $h(t)$ wynosi:

$H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}+j&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}},$

gdzie $j$ oznacza jednostkę urojoną.

Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta ${\widehat {s}}(t)$ różni się od widma „oryginalnego” sygnału $s(t)$ jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez $-j,$ a ujemna przez $+j.$ Mnożenie widma przez $\pm j$ oznacza przesunięcie fazy o $\pm$90°, przy zachowaniu niezmienionej amplitudy.

${\widehat {G}}(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{g\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\cdot G(\omega )={\begin{cases}+j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}}.$

Właściwości transformaty

1. Transformata jest przekształceniem liniowym.
2. Sygnał $g(t)$ i jego transformata Hilberta mają to samo widmo amplitudowe.
3. Dwukrotnie transformując sygnał $g(t)$ otrzymamy $-g(t).$
4. Sygnał $g(t)$ i jego transformata są ortogonalne.

Wybrane pary transformat Hilberta

Sygnał   $u(t)$	transformata Hilberta   ${\widehat {u}}(t)$
$\sin(t)$	$-\cos(t)$
$\cos(t)$	$\sin(t)$
${\frac {1}{t^{2}+1}}$	${\frac {t}{t^{2}+1}}$
funkcja sinc    ${\frac {\sin(t)}{t}}$	${\frac {1-\cos(t)}{t}}$
sygnał prostokątny    $\sqcap (t)$	${\frac {1}{\pi }}\ln \left|{\frac {t+{\frac {1}{2}}}{t-{\frac {1}{2}}}}\right|$
delta Diraca    $\delta (t)$	${\frac {1}{\pi t}}$
funkcja charakterystyczna zbioru    $\chi _{[a,b]}(x)$	${\frac {1}{\pi }}\log \left\vert {\frac {x-a}{x-b}}\right\vert$

Zobacz też

• sygnał analityczny

Linki zewnętrzne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].