Kuaternion

Dalam bidang matematik, kuaternion adalah sistem nombor yang memanjangkan sistem nombor kompleks. Kuaternion ditulis dalam bentuk:

$a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$

dimana pekali a, b, c dan d ialah nombor nyata dan i, j dan k ialah unit khayalan. Ia diperhatikan bahawa unit i, j dan k selalunya ditaip dengan font math bold font. Set yang mewakili kuaternion dilambangkan dengan $\mathbb {H}$ atau $\mathbf {H}$. Kegunaan huruf H untuk mewakili set kuaternion datang dari penciptanya, ahli matematik Irish William Rowan Hamilton.

Kuaternion memperolehi aplikasi yang luas. Berkisaran dari pemprosesan isyarat, teori nombor, mekanik kuantum, sains komputer, robotik dan analisis struktur dalam pelbagai bidang.

Definisi

Pendaraban unit khayalan kuaternion.

Unit khayalan i, j dan k ditakrifkan dalam satu persamaan:

$\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1$

Beberapa hukum boleh diperolehi dari persamaan tersebut:

• $\mathbf {ij} =-\mathbf {ij} =\mathbf {k}$
• $\mathbf {jk} =-\mathbf {kj} =\mathbf {i}$
• $\mathbf {ki} =-\mathbf {ik} =\mathbf {j}$

Pendaraban unit khayalan kuaternion tidak berhukum kalis tukar tertib, iaitu $ab\neq ba$. Tetapi, ia penting untuk nota bahawa kuaternion masih memperolehi hukum kalis sekutuan. Suatu kuaternion ialah gabungan pekali nombor nyata dan unit khayalan dalam bentuk:

$q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$

dimana $a$, $b$, $c$ dan $d$ adalah pekali nombor nyata dan i, j dan k ialah unit khayalan. Unit khayalan kuaternion juga boleh dianggap sebagai unit vektor. Secara komponenan, pekali $a$ digelar sebagai bahagian skalar (atau bahagian nyata) dan $b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ sebagai bahagian vektor kuaternion. Kuaternion dimana bahagian nyatanya sama dengan kuaternion tersebut digelar sebagai kuaternion nyata.

$q=a+0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k} =a$

Kuaternion dimana setiap komponennya ialah 0 digelar sebagai kuaternion sifar.

$q=0+0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k} =0$

Hasil darab Hamilton

Hasil darab antara dua kuaternion $q_{1}$ dan $q_{2}$ dipanggil sebagai hasil darab Hamilton. Untuk melaksanakan pendaraban tersebut, hukum yang ditunjukkan serta hukum kalis agihan digunakan. Andaikan $q_{1}=a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k}$ dan $q_{2}=a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k}$.,

${\begin{alignedat}{4}q_{1}\times q_{2}=\,&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}$

Gunakan hukum-hukum unit khayalan untuk mendarabkan unit khayalan tersebut dan faktorkan unit khayalan keluar kurungan untuk mendapat:

${\begin{alignedat}{4}q_{1}q_{2}=\,&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}$