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# Développements limités
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Affiche le graphe de la fonction f sur [a,b] avec N points
def trace(f, a, b, N=100, color='blue', label=''):
list_x, list_y = [], []
for x in np.linspace(a, b, N):
list_x.append(x)
list_y.append(f(x))
plt.plot(list_x, list_y, color=color, label=label)
return
# Exemple tracé de f = 1/sqrt(x) et de ses DL
def exemple1():
f = lambda x: 1/np.sqrt(x)
trace(f, 0.5, 1.5, color='red', label='f')
g0 = lambda x: 1 # Dl ordre 0
trace(g0, 0.5, 1.5, color='green')
g1 = lambda x: 1-1/2*(x-1) # Dl ordre 1
trace(g1, 0.5, 1.5, color='orange', label='DL1')
# g2 = lambda x: 1-1/2*(x-1)+3/8*(x-1)**2 # Dl ordre 2
# trace(g2, 0.5, 1.5, color='purple', label='DL2')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both')
# plt.savefig('approx-dl-01.png',dpi=600)
plt.show()
# exemple1()
# Calculs numériques
def exemple1bis():
f = lambda x: 1/np.sqrt(x)
g3 = lambda x: 1-1/2*(x-1)+3/8*(x-1)**2-5/16*(x-1)**3 # Dl ordre 3
x = 1.1
print("f(x)=", f(x))
print("g3(x)=", g3(x))
# exemple1bis()
# Exemple calcul de l'erreur
def exemple2():
# eg0 = lambda x: 1/np.sqrt(x) - 1 # Dl ordre 0
# trace(eg0, 0.5, 1.5, color='green', label='erreur ordre 0')
eg1 = lambda x: 1/np.sqrt(x) - (1-1/2*(x-1)) # Dl ordre 1
trace(eg1, 0.5, 1.5, color='orange', label='erreur ordre 1')
# eg2 = lambda x: 1/np.sqrt(x) - (1-1/2*(x-1)+3/8*(x-1)**2) # Dl ordre 2
# trace(eg2, 0.5, 1.5, color='purple', label='erreur ordre 2')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both')
# plt.savefig('approx-dl-02.png',dpi=600)
plt.show()
# exemple2()
# Exemple tracé de f = sinus et de ses DL en x=0 et pi/4
def exemple3():
f = lambda x: np.sin(x)
trace(f, 0, np.pi/2, color='red', label='f')
g3 = lambda x: x - 1/6*x**3 # Dl ordre 3
trace(g3, 0, np.pi/2, color='purple', label='DL3 en 0')
invrac2 = 1/np.sqrt(2)
pi4 = np.pi/4
g3 = lambda x: invrac2*(1+(x-pi4) - 1/2*(x-pi4)**2 -1/6*(x-pi4)**3) # Dl ordre 3
trace(g3, 0, np.pi/2, color='magenta', label='DL3 en pi/4')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both')
plt.savefig('approx-dl-03.png',dpi=600)
plt.show()
exemple3()
# erreur entre f = sinus et de ses DL en en x=0 et x=pi/4
def exemple4():
f = lambda x: np.sin(x)
eg3 = lambda x: f(x) - (x - 1/6*x**3) # erreur Dl ordre 3
trace(eg3, 0, np.pi/2, color='purple', label='erreur DL3 en 0')
invrac2 = 1/np.sqrt(2)
pi4 = np.pi/4
eg3 = lambda x: f(x) - (invrac2*(1+(x-pi4) - 1/2*(x-pi4)**2 -1/6*(x-pi4)**3)) # erreur Dl ordre 3
trace(eg3, 0, np.pi/2, color='magenta', label='erreur DL3 en pi/4')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both')
plt.savefig('approx-dl-04.png',dpi=600)
plt.show()
exemple4()
# Exemple tracé des erreurs f = sinus et de ses DL en x=pi/4
def exemple5():
invrac2 = 1/np.sqrt(2)
pi4 = np.pi/4
eg1 = lambda x: np.sin(x)-invrac2*(1+(x-pi4)) # Dl ordre 1
trace(eg1, 0, np.pi/2, color='orange')
eg2 = lambda x: np.sin(x)-invrac2*(1+(x-pi4) - 1/2*(x-pi4)**2) # Dl ordre 2
trace(eg2, 0, np.pi/2, color='purple')
eg3 = lambda x: np.sin(x)-invrac2*(1+(x-pi4) - 1/2*(x-pi4)**2 -1/6*(x-pi4)**3) # Dl ordre 3
trace(eg3, 0, np.pi/2, color='magenta')
plt.show()
# exemple5()
# Mesure du temps entre sinus et DL ordre 3 en x=pi/4
def exemple6():
import random
import time
pi4 = np.pi/4
pi5 = np.pi/5
invrac2 = 1/np.sqrt(2)
# Fonction sinus
t0 = time.time()
for i in range(1000000):
np.sin(random.random())
t1 = time.time()
print(np.sin(pi5))
print("Temps sinus :", t1-t0)
# DL ordre 3
g3 = lambda x: invrac2*(1+(x-pi4) - 1/2*(x-pi4)**2 -1/6*(x-pi4)**3) # Dl ordre 3
t0 = time.time()
for i in range(1000000):
g3(random.random())
t1 = time.time()
print(g3(pi5))
print("Temps DL3", t1-t0)
# exemple6()