• mathmod - библиотека программ для численного моделирования
  • Содержание
    • Теория погрешностей
  • Решение нелинейных уравнений
    • Постановка задачи
    • Основные вопросы
    • 1. Метод Ньютона
    • 2. Упрощённый метод Ньютона
    • 3. Метод секущих
    • 4. Метод ложного положения
    • 5. Метод бисекций
    • 6. Метод простой итерации
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
    • Постановка задачи
    • Основные вопросы
    • Прямые методы
      • 1. Метод Гаусса (схема единственного деления)
      • 2. Метод Гаусса (схема частичного выбора)
      • 3. Метод Холецкого (LLT-разложение)
      • 4. Метод LU-разложения
      • 5. Метод прогонки
    • Итерационные методы
      • 1. Метод Якоби
      • 2. Метод Гаусса-Зейделя
      • 3. Метод релаксации
    • Приближение функций
      • Постановка задачи
      • Постановка задачи интерполяции
      • Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
      • Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями
      • Метод наименьших квадратов
  • Установка

Пусть $a$ - точное решение. $a^{\ast}$ - приближенное значение. Тогда абсолютная погрешность:

Абсолютная погрешность:

$$ \Delta(a^{\ast}) = |a - a^{\ast}| $$

Относительная погрешность:

$$ \delta(a^{\ast}) = \frac{|a - a^{\ast}|}{|a|} = \frac{\Delta(a^{\ast})}{|a|} $$

Верная цифра - значащая цифра числа $a^{\ast}$, абсолютная погрешность которой не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре.

Округление - замена числа $a$ его другим числом $a^{\ast}$ с меньшим количеством значащих цифр.

При округлении возникает погрешность округления.

Задача отыскания корней нелинейного уравнения с одним неизвестным вида:

$$ f(x) = 0 $$

Корень уравнения - значение $\overline{x}$, при котором $f(\overline{x}) = 0$. Геометрически, $\overline{x}$ является абсциссой точки пересечения графика $f(x)$ с осью $Ox$.

Для заданной точности $\epsilon$ требуется найти приближенное значение корня $\overline{x}^{*}$ такое, что:

$$ |\overline{x} - \overline{x}^{*}| \leq \epsilon $$

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема $m > 1$ раз в точке $\overline{x}$, тогда:

Простой корень - корень уравнения $\overline{x}$ называется простым, если $f'(\overline{x}) \neq 0$.

Кратный корень - корень уравнения $\overline{x}$ называется простым, если $f'(\overline{x}) = 0$. Целое число $m$ назовем кратностью корня $\overline{x}$, если $f^{(k)}(\overline{x}) = 0$, для $k = 1, 2, ..., m - 1$ и $f^{(m)}(\overline{x}) \neq 0$.

Этапы решения уравнения:

1. Локализация корня;
2. Вычисление корня с заданной точностью.

Отрезок локализации - отрезок $[a, b]$, который содержит 1 корень уравнения.

Сходящийся итерационный процесс - метод отыскания корня $\overline{x}$, заключающийся в построении последовательности приближений к нему $x^{(0)}, x^{(1)}, ..., , x^{(k)}, ...$ такой, что:

$$ \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = \overline{x} $$

Порядок сходимости:

Пусть в некоторой малой окрестности корня $\overline{x}$ уравнения $f(x) = 0$ итерационная поледовательность удовлетворяет неравенству:

$$ |\overline{x} - x^{(k)}| \leq C|\overline{x} - x^{(k - 1)}|^{p} $$

, где $С > 0$ и $p \geq 1$ - постоянные. Тогда $p$ называется порядком сходимости.

Порядок сходимости - скорость уменьшения погрешности между последовательными приближениями решения.

Одношаговый итерационный метод - метод, у которого очередное приближение $x^{(k + 1)}$ находится только через одно предыдущее $x^{(k)}$. Для его работы нужно знать только одно начальное приближение $x^{(0)}$. (Пример - метод Ньютона)

Многошаговый итерационный метод ($l$ - шаговый) - метод, у которого очередное приближение $x^{(k + 1)}$ находится $l$ предыдущих $x^{(k)}, x^{(k - 1)}, ..., x^{(k - l + 1)}$. Для него следует задать $l$ начальных приближений $x^{(0)}, x^{(1)}, ..., x^{(l - 1)}$. (Пример - метод секщих)

Интервал неопределенности - окрестность $(\overline{x} - \epsilon, \overline{x} + \epsilon)$ внутри которой любую точку можно принять за приближение к корню.

• Быстрый итерационный метод для нахождения корня уравнения $f(x) = 0$.
• Требует предоставления функции $f(x)$ и её производной $f'(x)$.
• Функция: newton(f, df, x, epsilon=1e-6)
• Описание параметров:
  • f - Функция, корень которой нужно найти;
  • df - Производная функции;
  • x - Начальное приближение корня;
  • epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$).

from mathmod.nonlinear_equations import newton

x, iteration = newton(f, df, x, epsilon=1e-6)

Расчетная формула:

$$ x^{(n+1)} = x^{(n)} - \frac{f(x^{(n)})}{f'(x^{(n)})} $$

Сходимость метода: квадратичная (при выборе начального приближения из достаточно малой окрестности).

Критерий окончания:

$$ |x^{(n+1)} - x^{(n)}| < \varepsilon $$

• Упрощённая версия метода Ньютона, где производная функции вычисляется только один раз.
• Функция: simplified_newton(f, df, x0, epsilon=1e-6)
  
• Описание параметров:
  • f - Функция, корень которой нужно найти;
  • df - Производная функции;
  • x - Начальное приближение корня;
  • epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$).

from mathmod.nonlinear_equations import simplified_newton

x, iteration = simplified_newton(f, df, x0, epsilon=1e-6)

Расчетная формула:

$$ x^{(n+1)} = x^{(n)} - \frac{f(x^{(n)})}{f'(x^{(0)})} $$

Сходимость метода: скорость сходимости тем выше, чем ближе начальное приближение $x^{(0)}$ к решению $\overline{x}$.

Критерий окончания:

$$ |x^{(n+1)} - x^{(n)}| < \varepsilon $$

• Не требует аналитической производной функции.
• Использует приближённую производную.
• Функция: secant(f, x_minus_1, x_n, epsilon=1e-6)
• Описание параметров:
  • f - Функция, корень которой нужно найти;
  • x_minus_1 - Первой начальное приближение;
  • x - Второе начальное приближение;
  • epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$).

from mathmod.nonlinear_equations import secant

x, iteration = secant(f, x_minus_1, x_n, epsilon=1e-6)

Расчетная формула:

$$ x^{(n+1)} = x^{(n)} - \frac{x^{(n-1)} - x^{(n)}}{f(x^{(n-1)}) - f(x^{(n)})} f(x^{(n)}) $$

Сходимость метода: $p = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618$ - сверхлинейная, если вычисляется простой корень. При неудачном выборе приближения, метод расходится. Поэтому требуется выбор двух близких к $\overline{x}$ начальных приближений $x^{(0)}$ и $x^{(1)}$.

Критерий окончания:

$$ |x^{(n+1)} - x^{(n)}| < \varepsilon $$

• Функция: false_position(f, a, b, epsilon=1e-6)
• Описание параметров:
• f: Функция, корень которой нужно найти;
• a: Левый конец начального отрезка локализации корня;
• b: Правый конец начального отрезка локализации корня;
• epsilon: Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$).

from mathmod.nonlinear_equations import false_position

x, iteration = false_position(f, a, b, epsilon=1e-6)

Расчетная формула:

$$ x^{(n+1)} = x^{(n)} - \frac{c - x^{(n)}}{f(c) - f(x^{(n)})} f(x^{(n)}) $$

, где $c$ - некторая точнка из окрестности корня.

Сходимость метода: линейная. Для достижения заданной точности требуется тем меньше итераций, чем ближе к корню лежит точка $c$.

Критерий окончания:

$$ |x^{(n+1)} - x^{(n)}| < \varepsilon $$

• Работает на основе деления отрезка, учитывая значения функции.
• Требует, чтобы начальный отрезок $[a, b]$ удовлетворял условию $f(a) * f(b) &lt; 0$. Функция: bisection(f, a, b, epsilon)

Описание параметров:

• f - Функция, корень которой нужно найти;
• a - Левый конец начального отрезка локализации корня;
• b - Правый конец начального отрезка локализации корня;
• epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$).

from mathmod.nonlinear_equations import bisection

x, iteration = bisection(f, a, b, epsilon=1e-6)

Расчетная формула:

$$ c = \frac{a + b}{2} $$

Сходимость метода: со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой $q = \frac{1}{2}$.

Критерий окончания:

$$ {b^{(n)} - a^{(n)}} < 2\varepsilon $$

Тогда $x^{(n)} = \frac{ a^{(n)} + b^{(n)} }{2}$ является искомым приближением к корню с точностью $\epsilon$.

Функция: simple_iteration_method(phi, x0, epsilon=1e-6)

Описание параметров:

• phi - Итерационная функция $\phi(x)$, преобразующая исходное уравнение $f(x) = 0$ к виду $x = \phi(x)$;
• x0 - Начальное приближение корня;
• epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$).

from mathmod.nonlinear_equations import simple_iteration_method

x, iteration = simple_iteration_method(phi, x0, epsilon=1e-6)

Расчетная формула:

$$ x^{(n + 1)} = \phi(x^{(n)}) $$

Теорема о сходимости:

Если в окрестности корня функция $\phi(x)$ непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условию:

$$ \max_{x \in [a, b]} |\phi(x)| \leq q $$

где $0 \leq q &lt; 1$ - постоянная

Тогда независимо от выбора начального приближения $x^{(0)}$ из указанной окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогресии и справедлива следующая оценка погрешности (априорная оценка):

Априорная оценка - показывет, что итерационный метод сходится

$$ |x^{(n)} - \overline{x}| \leq q^{n}|x^{(0)} - \overline{{x}}| $$

Чем меньше $q$, тем выше скорость сходимости.

Апостериорная оценка - критерий окончания итерационного процесса

$$ |x^{(n)} - x^{(n-1)}| \leq \frac{1 - q}{q}\epsilon $$

Если это условие выполнено, то можно считать, что $x^{(n)}$ является приближением к $\overline{x}$ с точностью $\epsilon$.

Система уравнений в общем виде:

$$ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + \dots + a_{1m}x_m &= b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + \dots + a_{2m}x_m &= b_2, \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + \dots + a_{3m}x_m &= b_3, \\ &\dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + a_{m3}x_3 + \dots + a_{mm}x_m &= b_m. \end{aligned} $$

В матричной форме эта система принимает вид:

$$ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $$

, где

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2m} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3m} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mm} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} $$

$m$ - порядок матрицы;

$A$ - невырожденная матрица ($\Delta A \neq 0$, т.е. $\exists$ единственное решение);

$x$ - вектор неизвестных;

$b$ - вектор свободных членов;

Пусть $\overline{{x}}$ - точное решение, $x^{\ast}$ - приближенное решение.

$$ \mathbf{\overline{{x}}} = \begin{bmatrix} \overline{{x}}_1 \\ \overline{{x}}_2 \\ \overline{{x}}_3 \\ \vdots \\ \overline{{x}}_m \end{bmatrix} \quad \mathbf{x^{\ast}} = \begin{bmatrix} x^{\ast}_1 \\ x^{\ast}_2 \\ x^{\ast}_3 \\ \vdots \\ x^{\ast}_m \end{bmatrix} $$

Тогда вектор $\epsilon = \overline{{x}} - x^{*}$ называется вектором погрешности.

Задача:

Найти решение системы $Ax = b$ с точностью $\epsilon$. Это означает, что нужно найти вектор $x^{\ast}$ такой, что $|| \overline{{x}} - x^{*} || \leq \epsilon$, где $|| \cdot ||$ - одна из норм (единичная, евклидова, бесконечности).

Прямой метод - метод, который позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций;

Итерационный метод - метод, который строит последовательность приближений к решению;

Норма - будем говорить, что в $R^{m}$ введена норма, если каждому вектору $x \in R^{m}$ сопоставлено вещественное число, обозначаемое $||x||$.

1. Нормы векторов:

   

   Свойства норм векторов:

   

2. Нормы матриц:

   

   Свойства норм матриц:

   

3. Абсолютна и относительная погрешность векторов и матриц:

• Погрешность векторов:

  $\Delta x^{\ast} = ||\overline{x} - x^{\ast}||$ - абсолютная погрешность;

  $\delta x^{\ast} = \frac{\Delta x^{\ast}}{||x^{\ast}||}$ - относительная погрешность;

4. Вектор невязки - вектор, показывающий насколько найденное решение СЛАУ отклоняется от точного решения.

$$ r = b - A x^{\ast} $$

Число обусловленности - коэффициент возможного возрастания относительной погрешности решения, вызванное погрешностью задания правой части.

Пусть $\overline{x}$ - точное решение системы $A \overline{x} = b$, а $x^{\ast}$ - решение системы. Тогда верны следующие оценки:

$$ \delta(x^{\ast}) \leq \nu_\delta (\delta(A^{\ast}) + \delta(b^{\ast})) $$

, где

$$ \nu_\delta = ||A|| * ||A^{-1}|| \quad \delta(A^{\ast}) = \frac{||A - A^{-1}||}{||A||}| $$

$\nu(A) = cond(A) = ||A^{-1}|| * ||A||$ - стандартное число обусловленности.

Матрица плохо обусловлена, если $cond(A) &gt;&gt; 1$. Следовательно, тогда существует решение, обладающее черезвычайно высокой чувствительностью к малым погрешностям входного данного $b$.

Прямой метод - метод, который позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций.

• Функция: gauss_single_division(A, b)

• A - Матрица левой части;

• b - Вектор правой части;

Трудоемкость метода - $\frac{2}{3} m^{3}$

• Прямой ход - матрица $A$ преобразуется к треугольному виду ($m - 1$ - шагов).
• Обратный ход - вычисляются значения неизвестных, начиная с последнего уравнения ($m^{2}$ - шагов).

Условие применимости - схема единственного деления не может быть реализована, если один из главных элементов равен нулю.

Описание метода:

from mathmod.linear_systems import gauss_single_division

x = gauss_single_division(A, b)

Пример:

$$ \begin{aligned} 2x_1 + x_2 - x_3 &= 1, \\ 4x_1 + 3x_2 - x_3 &= 7, \\ 8x_1 + 7x_2 + 3x_3 &= 25. \end{aligned} $$

В матричной форме система записывается так:

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 & 7 \\ 8 & 7 & 3 & 25 \end{array} \right] $$

Прямой ход

Шаг 1: Приведение первого столбца

Делим первую строку на ведущий элемент $a_{11} = 2$:

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 \\ 4 & 3 & -1 & 7 \\ 8 & 7 & 3 & 25 \end{array} \right] $$

Обнуляем элементы ниже ведущего элемента в первом столбце, используя формулу:

$$ a_{ij} \gets a_{ij} - \mu_{ik} \cdot a_{kj}, \quad b_i \gets b_i - \mu_{ik} \cdot b_k, $$

, где $\mu_{ik} = \frac{a_{ik}}{a_{kk}}$

Для второй строки:

$$ \mu_{21} = 4, \quad a_{2j} \gets a_{2j} - 4 \cdot a_{1j} $$

Для третьей строки:

$$ \mu_{31} = 8, \quad a_{3j} \gets a_{3j} - 8 \cdot a_{1j} $$

Получаем:

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 7 & 21 \end{array} \right] $$

Шаг 2: Приведение второго столбца

Делим вторую строку на ведущий элемент $a_{22} = 1$ (он уже равен $1$):

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 7 & 21 \end{array} \right] $$

Обнуляем элементы ниже ведущего элемента во втором столбце:

$$ \mu_{32} = 3, \quad a_{3j} \gets a_{3j} - 3 \cdot a_{2j} $$

Получаем:

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 6 \end{array} \right] $$

Обратный ход

Решаем треугольную систему методом подстановки.

Шаг 1: Найдем $x_3$:

$$ x_3 = \frac{6}{4} = 1.5 $$

Шаг 2: Найдем $x_2$:

$$ x_2 = 5 - 1 \cdot x_3 = 5 - 1 \cdot 1.5 = 3.5 $$

Шаг 3: Найдем $x_1$:

$$ x_1 = 0.5 - 0.5 \cdot x_2 - 0.5 \cdot x_3 = 0.5 - 0.5 \cdot 3.5 + 0.5 \cdot 1.5 = -0.5 $$

Решение системы:

$$ x_1 = -0.5, \quad x_2 = 3.5, \quad x_3 = 1.5 $$

• Функция: gauss_partial_pivot(a, b)

Трудоемкость метода - $\frac{2}{3} m^{3}$

Описание метода:

Отличие от схемы единственного деления заключается в том, что на $k$-м шаге исключение в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент $a_{i_{k}k}$.

Вычислительная устойчивость:

Гарантия ограниченности роста элементов матрицы делает схему частиного выбора вычислительно устойчивой. Становится справедлива оценка погрешности:

$$ \delta(x^{\ast}) \lesssim f(m) cond_E(A) \epsilon_M $$

, где:

$x^{\ast}$ - вычисленное ЭВМ решение системы. $\delta(x^{\ast}) = \frac{||x - x^{\ast}||_2}{||x||_2}$ - относительная погрешность;

$cond_E(A) = ||A||_E||A^{-1}||_E$ - числро обусловленности;

$\epsilon_M$ - машинный эпсилон;

$f(m) = C(m)\phi(m)$, где $C(m)$ - некоторая медленно растущая функция, зависящая от порядка стистемы;

$\phi(m)$ - коэффициент роста.

Далее исключение неизвестного $x_{k}$ производят, как в схеме единственного деления.

from mathmod.linear_systems import gauss_partial_pivot

x = gauss_partial_pivot(A,b)

Пример:

Рассмотрим систему:

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & -9 & 5 \\ 0 & 3.5 & -10 \\ 0 & 0.0001 & 3 \end{bmatrix} \quad b = \begin{bmatrix} -4\\ -6.5\\ 3.0001 \end{bmatrix} $$

• Для решения СЛАУ с симметрично положительно определённой матрицей.
• Функция: cholecky(A, b)

Трудоемкость метода - $\frac{1}{3}m^{3}$

Условия применимости - требуется, чтобы диагональные элементы $l_{ii}$ матрицы $L$ были положительными.

Достоинства метода:

• Гарантированная устойчивость;
• Требует вдвое меньше вычислительных затрат по сравнению с методом Гаусса;
• Позволяет экономично использовать память ЭВМ при записи исходных данных и результато вычислений за счет симметричности матрицы A.

Описание метода:

$A$ - симетрично положительно определенная матроица ($A = A^{T}$ и $\forall x \neq 0$ скалярное произведение $(Ax, x) &gt; 0$ ).

$L$ - нижнетреугольная матрица. $L^{T}$ - транспонированная.

$$ A = LL^{T} $$

, где

$$ LL^{T} = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 & \dots & 0\\ l_{21} & l_{22} & 0 & \dots & 0\\ l_{31} & l_{32} & l_{33} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ l_{m1} & l_{m2} & l_{m3} & \dots & l_{mm} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} l_{11} & l_{21} & l_{31} & \dots & l_{m1}\\ 0 & l_{22} & l_{23} & \dots & l_{m2}\\ 0 & 0 & l_{33} & \dots & l_{m3} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & l_{mm} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2m} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3m} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mm} \end{bmatrix} $$

Отсюда:

$$ l^2_{k1} + l^2_{k2} + \dots + l^2_{kk} = a_{kk} $$

$$ l_{kk} = \sqrt{a_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1} l^{2}_{k,j}} \quad k = 2 \dots m $$

$$ l_{ik} = \frac{a_{i,k} - \sum_{j-1}^{k-1} l_{i,j} \cdot l_{l,k}}{l_{k,k}} \quad i = k + 1, \dots m $$

Если разложение получено, то решение системы:

$$ Ly = b \quad L^{T}x = y $$

from mathmod.linear_systems import cholecky

x = cholecky(A, b)

Пример:

Рассмотрим систему:

$$ A = \begin{bmatrix} 6.25 & -1 & 0.5 \\ -1 & 5 & 2.12 \\ 0.5 & 2.12 & 3.6 \end{bmatrix} \quad b = \begin{bmatrix} 7.5\\ -8.68\\ -0.24 \end{bmatrix} $$

$l_{11} = \sqrt(a_{11}) = \sqrt{6.25} = 2.5 \quad l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} =\frac{-1}{2.5} = -0.4$

$l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{0.5}{2.5} = 0.2 \quad l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^{2}} = \sqrt{5 - 0.16} = 2.2$

$l_{32} = a_{32} - l_{31}l_{21} = (2.12 - \frac{0.2 \cdot (-0.4)}{2.2}) = 1$

$l_{33} = \sqrt{a_{22} - l_{31}^{2} - l_{32}^{2}} = \sqrt{3.6 - 0.2^{2} - 1^{2}} = 1.6$

Матрица $L$:

$$ L = \begin{bmatrix} 2.25 & 0 & 0 \\ -0.4 & 2.2 & 0 \\ 0.2 & 1 & 1.6 \end{bmatrix} $$

Решение состоит из 2-х шагов:

1. Решаем $Ly = b$ для $y$ методом прямой подстановки.
2. Решаем $L^{T}x = y$ для $x$ методом обратной подстановки.

Решение:

1. Прямой ход для $y$:

$$ Ly = b $$

$$ \begin{bmatrix} 2.5 & 0 & 0 \\ -0.4 & 2.2 & 0 \\ 0.2 & 1 & 1.6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7.5\\ -8.68\\ -0.24 \end{bmatrix} $$

• Рассчитываем $y$:

$$ \begin{aligned} 2.5 \cdot y_1 &= 7.5, \\ -0.4 \cdot y_1 + 2.2 \cdot y_2 &= -8.68, \\ 0.2 \cdot y_1 + y_2 + 1.6 \cdot y_3 &= -0.24 \\ \end{aligned} $$

• Решая, получаем:

$$ y_1 = 3, \\ y_2 = -3.4, \\ y_3 = 1.6 $$

2. Обратный ход для $x$:

$$ L^{T}x = y $$

$$ \begin{bmatrix} 2.5 & -0.4 & 0.2 \\ 0 & 2.2 & 1 \\ 0 & 0 & 1.6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ -3.4\\ 1.6 \end{bmatrix} $$

• Рассчитывем $x$:

$$ \begin{aligned} 2.5 \cdot x_1 -0.4 \cdot x_2 + 0.2 \cdot x_3 &= 3, \\ 2.2 \cdot x_2 + x_3 &= -3.4, \\ 1.6 \cdot x_3 &= 1.6. \end{aligned} $$

• Решая, получаем:

$$ x_1 = 0.8, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 1 \quad $$

• Функция: lu(A, b)

Трудоемкость метода - $\frac{2}{3} m^{3} + m^{2}$

Теорема о возможности применения $LU$ - разложения - если все главные миноры матрицы $A$ отличны от нуля, то существуют единственная нижняя треугольная матрица $L$ и верхняя треугольная матрица $U$ такие, что:

$$ A = LU $$

, где

$$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \mu_{21} & 1 & 0 & \dots & 0\\ \mu_{31} & \mu_{32} & 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \mu_{m1} & \mu_{m2} & \mu_{m3} & \dots & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Описание метода:

from mathmod.linear_systems import lu_solve

x = lu_solve(A, b)

Пример:

Рассмотрим систмему:

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -4 & 6 & 3 \\ -4 & -2 & 8 \end{bmatrix} \quad b = \begin{bmatrix} -5\\ 6\\ 8 \end{bmatrix} $$

Мы хотим представить её в виде произведения:

$$ A = LU $$

, где:

$$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \mu_{21} & 1 & 0 \\ \mu_{31} & \mu_{32} & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}. $$

Шаг 1: Прямой ход (разложение)

1. Выбираем первый элемент матрицы $A$ как ведущий:

$$ u_{11} = 2 $$

Элементы верхней матрицы $U$:

$$ u_{12} = -1, \quad u_{13} = -2. $$

2. Вычисляем коэффициенты для матрицы $L$:

$$ \mu_{21} = \frac{a_{21}}{u_{11}} = \frac{-4}{2} = -2, \quad \mu_{31} = \frac{a_{31}}{u_{11}} = \frac{-4}{2} = -2. $$

3. Обновляем элементы второй строки:

$$ u_{22} = a_{22} - \mu_{21} \cdot u_{12} = 6 - (-2) \cdot (-1) = 4, $$

$$ u_{23} = a_{23} - \mu_{21} \cdot u_{13} = 3 - (-2) \cdot (-2) = -1. $$

4. Обновляем элементы третьей строки:

$$ u_{32} = a_{32} - \mu_{21} \cdot u_{12} = -2 - (-2) \cdot (-1) = -4 $$

$$ u_{33} = a_{33} - \mu_{21} \cdot u_{13} = 8 - (-2) \cdot (-2) = 4 $$

5. Промежуточные результаты:

$$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & \mu_{32} & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & -4 & 4 \end{bmatrix}, $$

6. Вычисляем $\mu_{32}$:

$$ \mu_{32} = \frac{u_{32}}{u_{22}} = -1 $$

7. Обновляем элементы третьей строки:

$$ u_{33} = u_{33} - \mu_{32} \cdot u_{23} = 4 - (-1) \cdot (-1) = 3 $$

8. Итоговые матрицы

$$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. $$

Шаг 2: решение системы

Для решения системы $Ax = b$, где:

$$ A = LU, $$

Решение состоит из 2-х шагов:

1. Решаем $Ly = b$ для $y$ методом прямой подстановки.
2. Решаем $Ux = y$ для $x$ методом обратной подстановки.

Решение:

1. Прямой ход для $y$:

$$ Ly = b $$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5\\ 6\\ 8 \end{bmatrix} $$

• Рассчитывем $y$:

$$ \begin{aligned} y_1 &= -5, \\ -2 \cdot y_1 + y_2 &= 6, \\ -2 \cdot y_1 - 1 \cdot y_2 + y_3 &= 8. \end{aligned} $$

• Решая, получаем:

$$ y_1 = -5, \\ y_2 = -4, \\ y_3 = -6 $$

2. Обратный ход для $x$:

$$ Ux = y $$

$$ \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5\\ -4\\ -6 \end{bmatrix} $$

• Рассчитывем $x$:

$$ \begin{aligned} 2 \cdot x_1 - x_2 - 2 \cdot x_3 &= -5, \\ 4 \cdot x_2 - x_3 &= -4, \\ 3 \cdot x_3 &= -6. \end{aligned} $$

• Решая, получаем:

$$ x_1 = -5.25, \quad x_2 = -1.5, \quad x_3 = -2 $$

• Функция: three_diag(A,b)

Трудоемкость метода - $8m$

Условие применимости - коэффициенты системы удовлетворяют условиям диагонального преобладания:

$$ |b_k| \geq |a_k| + |c_k| \quad |b_k| > |a_k| $$

Тогда:

$$ \gamma_i = b_i + a_i \alpha_{i-1} \neq 0 \quad |\alpha_i| \leq 1 \quad \forall i = 1, 2, \dots m $$

Описание метода:

$A$ - терхдиагональная матрица:

$$ A = \begin{bmatrix} b_1 & c_1 & 0 & \dots & \dots & 0\\ a_2 & b_2 & c_2 & \dots & \dots & 0\\ 0 & a_3 & b_3 & c_3 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & a_{m-1} & b_{m-1} & c_{m-1} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_m & b_m \\ \end{bmatrix} \quad b = \begin{bmatrix} d_1\\ d_2\\ d_3\\ \vdots \\ b_{m-1} \\ b_m \end{bmatrix} $$

• Прямой ход (прямая прогонка) - вычисление прогоночных коэффициентов

$$ \alpha_i = -\frac{c_i}{\gamma_i} \quad \beta_i = \frac{d_i - \alpha_i \beta_{i - 1}}{\gamma_i} \quad \gamma_i = b_i + a_i \alpha_{i - 1} $$

• Обратная прогонка (обратная прогонка) - вычисление значения незвестных. Сначала $x_m = \beta_m$. Затем значения осталных неизветных по формуле:

$$ x_i = \alpha_i x_{i + 1} + \beta_i \quad i = m - 1, m - 2, \dots, 1 $$

from mathmod.linear_systems import three_diag

x = three_diag(A,b)

Пример:

Рассмотрим систмему:

$$ A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 4.6 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 3.6 & -0.8 \\ 0 & 0 & 3 & 4.4 \end{bmatrix} \quad b = \begin{bmatrix} 2\\ 3.3\\ 2.6\\ 7.2 \end{bmatrix} $$

Прямой ход

$$ \gamma_1 = b_1 = 5, \quad \alpha_1 = -c_1 / \gamma_1 = 0.2, \quad \beta_1 = d_1 / \gamma_1 = 2.0 / 5 = 0.4, $$

$$ \gamma_2 = b_2 + a_2 \alpha_1 = 4.6 + 2.0 \cdot 0.2 = 5, \quad \alpha_2 = -c_2 / \gamma_2 = 1 / 5 = 0.2, $$

$$ \beta_2 = (d_2 - a_2 \beta_1) / \gamma_2 = (3.3 - 2.0 \cdot 0.4) / 5 = 0.5, $$

$$ \gamma_3 = b_3 + a_3 \alpha_2 = 3.6 + 2.0 \cdot 0.2 = 4, \quad \alpha_3 = -c_3 / \gamma_3 = 0.8 / 4 = 0.2, $$

$$ \beta_3 = (d_3 - a_3 \beta_2) / \gamma_3 = (2.6 - 2.0 \cdot 0.5) / 4 = 0.4, $$

$$ \gamma_4 = b_4 + a_4 \alpha_3 = 4.4 + 3.0 \cdot 0.2 = 5, \quad \beta_4 = (d_4 - a_4 \beta_3) / \gamma_4 = (7.2 - 3.0 \cdot 0.4) / 5 = 1.2. $$

Обратный ход

$$ x_4 = \beta_4 = 1.2, $$

$$ x_3 = \alpha_3 z_4 + \beta_3 = 0.2 \cdot 1.2 + 0.4 = 0.64, $$

$$ x_2 = \alpha_2 z_3 + \beta_2 = 0.2 \cdot 0.64 + 0.5 = 0.628, $$

$$ x_1 = \alpha_1 z_2 + \beta_1 = 0.2 \cdot 0.628 + 0.4 = 0.5256. $$

Итак, получаем решение:

$$ x_1 = 0.5256, \quad x_2 = 0.628, \quad x_3 = 0.64, \quad x_4 = 1.2. $$

Итерационный метод - метод, который строит последовательность приближений к решению;

• Функция: jacobi(A, b, epsilon=1e-6, norma=1)

  • A - Матрица коэффициентов (n x n);
  • b - Вектор правой части;
  • epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$);
  • norma - Норма, по которой считается критерий окончания (например, 1, 2, np.inf).

Теорема о сходимости:

Пусть выполнено условие:

$$ ||B|| < 1 $$

Тогда решение системы $\overline{x}$ существует и единственно при произволном приближении $x^{(0)}$ МПИ сходится и справедлива оценка погрешности (априорная оценка):

$$ ||x^{(n)} - \overline{x}|| \leq ||B||^{n}||x^{(0)} - \overline{x}|| $$

Апостериорная оценка:

$$ ||x^{(n)} - \overline{x}|| \leq \frac{||B||}{1 - ||B||} ||x^{(n)}- x^{(n - 1)}|| $$

Критерий окончания:

$$ ||x^{(n)}- x^{(n - 1)}|| \leq \epsilon_1 $$

, где:

$$ \epsilon_1 = \frac{||B||}{1 - ||B||} \epsilon $$

Более простой критерий окончания:

$$ ||x^{(n)}- x^{(n - 1)}|| \leq \epsilon $$

Описание метода:

$$ \begin{aligned} x_1^{k+1} = b_{11}x_1^{k} + b_{12}x_2^{k} + b_{13}x_3^{k} + \dots + b_{1m}x_m^{k} + c_{1}, \\ x_2^{k+1} = b_{21}x_1^{k} + b_{22}x_2^{k} + b_{23}x_3^{k} + \dots + b_{2m}x_m^{k} + c_{2}, \\ x_3^{k+1} = b_{31}x_1^{k} + b_{32}x_2^{k} + b_{33}x_3^{k} + \dots + b_{3m}x_m^{k} + c_{3}, \\ \dots \\ x_m^{k+1} = b_{m1}x_1^{k} + b_{m2}x_2^{k} + b_{m3}x_3^{k} + \dots + b_{mm}x_m^{k} + c_{m}, \\ \end{aligned} $$

from mathmod.linear_systems import jacobi

x, iteration_count = jacobi(A, b, epsilon=1e-6, norma=1)

Пример:

• Итерационный метод для решения СЛАУ с диагонально преобладающей матрицей.

• Функция: gauss_zeydel(A, b, epsilon=1e-6, norma=1)

  • A - Матрица коэффициентов (n x n);
  • b - Вектор правой части;
  • epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$);
  • norma - Норма, по которой считается критерий окончания (например, 1, 2, np.inf).

• Функция: relaxation_method(A, b, epsilon=1e-6, omega=1, norma=1)

  • A - Матрица коэффициентов (n x n);
  • b - Вектор правой части;
  • epsilon - Заданная точность (по умолчанию $10^{-6}$);
  • omega - Параметр релаксации (по умолчанию 1.0 — метод Зейделя);
  • norma - Норма, по которой считается критерий окончания (например, 1, 2, np.inf).

from mathmod.linear_systems import relaxation_method

x, iteration_count = relaxation_method(A, b, epsilon=1e-6, omega=1, norma=1)

Известны значения некоторой функции $f(x)$ только на множестве дискретных точек $x_0, x_1, \ldots, x_n$, но само аналитическое выражение для функции неизвестно. Заменим функцию $f(x)$ некоторой известной и достаточно легко вычисляемой функцией $\Phi(x)$ такой, что $\Phi(x) \approx f(x)$. Подобный процесс замены неизвестной функции некоторой близкой функцией называется аппроксимацией, а функция $\Phi(x)$ называется аппроксимирующей функцией.

Для аппроксимации функций широко используются классы функций вида:

$$\Phi_m(x) = a_0\phi_0(x) + a_1\phi_1(x) + \ldots + a_m\phi_m(x),$$

являющиеся линейными комбинациями фиксированного набора базисных функций $\phi_0(x), \phi_1(x), \ldots, \phi_m(x)$.

Функцию $\phi_m(x)$ называют обобщенным многочленом по системе функций $\phi_0(x), \phi_1(x), \ldots, \phi_m(x)$

Число $m$ - степенью многочлена.

Существуют два основных подхода в аппроксимации функций:

1. Пусть точки $f(x_i), i = 0,1,\ldots,n$ получены в результате достаточно точных измерений или вычислений, т.е. есть основания считать их лишенными ошибок. Тогда следует выбирать аппроксимирующую функцию $\phi(x)$ такой, чтобы она совпадала со значениями исходной функции в заданных точках. Геометрически это означает, что кривая $\phi(x)$ проходит через точки $(x_i, f(x_i))$ плоскости. Такой метод приближения называется интерполяцией.

2. Если точки $f(x_i), i = 0,1,\ldots,n$ содержат ошибки (данные экспериментов, статистические данные и т.п.), то функция $\phi(x)$ выбирается из условия минимума некоторого функционала, обеспечивающего сглаживание ошибок. Такой прием называется аппроксимацией функции «в среднем». Геометрически это будет означать, что кривая $\phi(x)$ будет занимать некоторое «среднее» положение, не обязательно совпадая с исходными точками $(x_i, f(x_i))$ плоскости.

Пусть в точках $x_0, x_1, \ldots, x_n$, расположенных на отрезке $[a, b]$ и попарно различных.

Тогда задача итерполяции состоит в построении функции $g(x)$, удовлетворяющей условию:

$$g(x) = y_i \quad (i = 0, 1, \ldots, n)$$

Интерполяция - способ приближения функции $f(x)$ путем построения функии $g(x)$, график которой проходит через точки $(x_i, y_i)$.

Экстраполяция - способ приближения функции $f(x)$ в точке $x &lt; x_{min}$ или $x &gt; x_{max}$.

$[x_{min}, x_{max}]$ - минимальный и максимальный из узлов интерполяции.

Теорема о существовании и единственности интерполяционного многочлена:

Если $m = n$, то решение задачи интерполяции обобщенным многочленом ($\Phi_m(x) = a_0\phi_0(x) + a_1\phi_1(x) + \ldots + a_m\phi_m(x)$) существует и единственно при любом наборе данных $y_0, y_1, \ldots, y_n$, тогда и только тогда, когда системы функций $\phi_0(x), \phi_1(x), \ldots, \phi_n(x)$ являются линейно независимыми в точках $x_0, x_0, \ldots, x_n$.

$$ L_n(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_i l_{nj}(x) $$

, где:

$$ l_{ij}(x) = \prod_{k = 1 \atop k \neq j}^{n}\frac{(x - x_k)}{(x_j - x_i)} = \frac{(x - x_0)(x - x_1) \dots (x - x_{j-1})(x - x_{j+1}) \dots (x - x_{n})}{(x_j - x_0)(x_j - x_1) \dots (x_j - x_{j-1})(x_j - x_{j+1}) \dots (x_j - x_{n})} $$

Оценка погрешности:

$$ \max_{[a, b]}|f(x) - P_n(x)| \leq \frac{M_{n + 1}}{(n + 1)!}\max_{[a, b]}|\omega_{n + 1}(x)| $$

$\omega_{n + 1}(x) = (x - x_0)(x - x_1) \dots (x - x_{n})$

$M_{n + 1} = \max_{[a, b]}|f^{n + 1}(x)|$

или

$$ \max_{[x_0, x_n]}|f(x) - P_n(x)| \leq \frac{M_{n + 1}}{4(n + 1)}h^{n + 1}_{max} $$

$h_{max} = \max\limits_{1 \leq i \leq n} h_{i}$

Эта формула позволяет утвержать, что для достаточно гладкой функции $f$ при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции на отрезке $[x_0, x_n]$ при $h_{max} \to 0$ стрепится к нулю не медленее, чем некоторая величина, пропорциональная $h^{n + 1}_{max}$.

Итерполяция многочленом $n$ имеет $(n + 1)$-й порядок точности относительно $h_{max}$.

Пример:

Пусть даны точки:

• $x_0 = 0$, $y_0 = 1$
• $x_1 = 1$, $y_1 = 2$
• $x_2 = 2$, $y_2 = 4$

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа:

$$L_2(x) = y_0 \cdot \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \cdot \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \cdot \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$

Подставляя значения:

$$L_2(x) = 1 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} + 2 \cdot \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} + 4 \cdot \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)}$$

$$L_2(x) = 1 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{2} - 2 \cdot \frac{x(x-2)}{1} + 2 \cdot \frac{x(x-1)}{2}$$

Пусть интерполируемая функция задана таблицей с постоянными шагом $h$, т.е. $x_i = x_0 + ih, i = 0,1 \ldots n$. Тогда введя безразмерную величину $t = \frac{x - x_0}{h}$, можно записать многочлен Ньютона:

$$ P_{n}(x) = P_{n}(x + ht) = y_0 + \frac{\Delta y_0}{1!}t + \frac{\Delta^2 y_0}{2!}t(t - 1) + \frac{\Delta^3 y_0}{3!}t(t - 1)(t - 2) + \ldots + \frac{\Delta^n y_0}{n!}t(t - 1)(t - 2) \ldots (t - n + 1) $$

Постановка задачи

Пусть даны точки $x_0, x_1, \ldots, x_n$, и известны значения исходной фукнции $f_i = f(x_i), i = 0, 1, \ldots n$. Требуется найти многочлен $P_m$ заданной степени $m (m = n)$ такой, чтобы величина среднеквадратического отклонения:

$$ \sigma(P_m, f) = \sqrt{\frac{1}{1 + n}\sum_{i = 0}^n(P_m(x_i) - f_i)^2} = \sqrt{\frac{1}{1 + n}\sum_{i = 0}^n(\sum_{j = 0}^n a_j x_i^j - f_i)^2} $$

была минимальной

Нормальная система:

$$ \sum_{j = 0}^m a_j \sum_{i = 0}^n x_i^{k + j} = \sum_{i = 0}^n f_i x_i^k \quad k = 0, 1, \ldots m $$

$$ s_k = \sum_{i = 0}^n x_i^k \quad b_k = \sum_{i = 0}^n f_i x_i^k $$

$$ \begin{aligned} (n + 1)a_{0} + (\sum_{i = 0}^n x_i)a_{1} + (\sum_{i = 0}^n x_i^2)a_{2} = \sum_{i = 0}^n y_i, \\ (\sum_{i = 0}^n x_i)a_{0} + (\sum_{i = 0}^n x_i^2)a_{1} + (\sum_{i = 0}^n x_i^3)a_{2} = \sum_{i = 0}^n y_i x_i, \\ (\sum_{i = 0}^n x_i^2)a_{0} + (\sum_{i = 0}^n x_i^3)a_{1} + (\sum_{i = 0}^n x_i^4)a_{2} = \sum_{i = 0}^n y_i x_i^2, \\ \end{aligned} $$

Для использования библиотеки склонируйте репозиторий и установите необходимые зависимости:

git clone https://github.com/BaranovSerV/mathmod.git
cd mathmod
pip install -r requirements.txt