Losange

En géométrie plane, un losange est un quadrilatère dont les côtés ont tous la même longueur, ou un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur, ou encore un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Deux losanges. La figure de gauche montre que les quatre côtés sont de même longueur. La figure de droite est un losange où les propriétés du parallélogramme sont mises en évidence.

Cette figure était anciennement appelée un rhombe, du grec ancien ῥόμβος / rhómbos (et porte toujours un nom tiré de cette étymologie dans de nombreuses langues, comme rhombus en anglais ou encore rombo en espagnol et en italien). L'adjectif relatif au nom « losange » est « rhombique ».

Définition et caractérisations

Définition

Un losange est un quadrilatère plan (donc à sommets distincts) dont les côtés ont même longueur, autrement dit un polygone équilatéral à quatre côtés.

Losange aplati $ABCD$.

On étend parfois la définition au cas d'un losange plat :

Caractérisations comme parallélogrammes particuliers

Pour quatre points distincts du plan euclidien $A,B,C,D$, les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $ABCD$ est un losange, c'est-à-dire $AB=BC=CD=DA$.
2. $ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires (soit un quadrilatère orthodiagonal).
3. $ABCD$ est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.

Démonstration

• Montrons (1) implique (2) :

De $AB=BC$ et $CD=DA$, on conclut que $(BD)$ est la médiatrice de $[AC]$. Ainsi $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$ et passe par le milieu $I$ de $[AC]$.

On montre de même que $(AC)$ passe par le milieu $J$ de $[BD]$. Comme $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc $I=J$ ; $ABCD$ est bien un parallélogramme dont les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.

• Montrons (2) implique (3) :

On sait donc que les diagonales se coupent en leur milieu $I$ et qu'elles sont perpendiculaires.

Comme $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$ et passe par $I$, on conclut que $(BD)$ est la médiatrice de $[AC]$ et donc $AB=BC$.

• Montrons (3) implique (1) :

Dans un parallélogramme les côtés opposés ont même longueur. Si de plus deux côtés consécutifs ont même longueur, les quatre côtés ont même longueur.

Remarque : l'équivalence entre (2) et (3) se traduit vectoriellement en $({\vec {u}}+{\vec {v}}\perp {\vec {u}}-{\vec {v}})\Leftrightarrow ||{\vec {u}}||=||{\vec {v}}||$, propriété provenant de l'identité $({\vec {u}}+{\vec {v}})({\vec {u}}-{\vec {v}})=||{\vec {u}}||^{2}-||{\vec {v}}||^{2}$.

Autres caractérisations

• Un losange est un quadrilatère convexe dont les diagonales en sont des axes de symétrie, autrement dit un quadrilatère qui est de deux façons un cerf-volant.

Démonstration du sens direct

D'après les caractérisations ci-dessus, les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme) et sont perpendiculaires. Donc C est l'image de A par la symétrie d'axe $(BD)$ et $D$ est l'image de $B$ par la symétrie d'axe $(AC)$.

• Un losange est un quadrilatère convexe dont les diagonales sont les bissectrices de ses angles.

Démonstration du sens direct

Soit un losange $ABCD$ de centre $I$. Les deux propriétés de symétrie entraînent que les triangles $ABI$, $CBI$, $ADI$, et $CDI$ sont superposables. D'où :

${\widehat {IAB}}={\widehat {IAD}}={\widehat {ICB}}={\widehat {ICD}}$ et

${\widehat {IBA}}={\widehat {IBC}}={\widehat {IDA}}={\widehat {IDC}}$ .

C'est-à-dire : les diagonales du losange sont les bissectrices de ses angles.

Démonstration de la réciproque

On pose ${\widehat {A}}=2\alpha ,{\widehat {B}}=2\beta ,{\widehat {=}}C=2\gamma ,{\widehat {D}}=2\delta$ ; d'après la propriété des angles opposés par le sommet, on a $\pi -\alpha -\beta =\pi -\gamma -\delta$, donc $\alpha +\beta =\gamma +\delta$ et de même, $\gamma +\beta =\delta +\alpha$, dont on déduit $\alpha =\gamma ,\beta =\delta$ ; c'est donc un parallélogramme (côtés opposés parallèles). De plus, $\pi -\alpha -\beta +\pi -\beta -\alpha =\pi$, d'où $\alpha +\beta =\pi /2$ : les diagonales sont perpendiculaires, c'est un losange.

Animation montrant que tout losange pave le plan. Les nœuds de ce pavage rhombique sont les points de coordonnées $((i+j+1)a,(i-j)b)$ avec $a^{2}+b^{2}=1$.

Autres propriétés

• Comme dans tout parallélogramme les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.

• Un losange a deux angles aigus et deux angles obtus (sauf dans le cas particulier où le losange est aussi un carré, auquel cas tous les angles sont droits). Un de ses angles aigus + un de ses angles obtus = 180° ; exemple : 110°(obtus) + 70°(aigu) = 180°.
• Le groupe des isométries du losange non carré est le groupe de Klein.
• Comme pour tout quadrilatère non croisé, tout losange pave le plan.

Propriétés métriques

Formules
Angles	$\alpha =2\arctan {\frac {l}{L}}$, $\beta =2\arctan {\frac {L}{l}}$ , $\alpha +\beta =2\pi =180^{\circ }$
Longueur des côtés	$a={\frac {1}{2}}{\sqrt {L^{2}+l^{2}}}$
Périmètre	$p=4a$
Longueurs des diagonales, soit longueur et largeur du rectangle circonscrit	$L=2a\cos {\frac {\alpha }{2}}=2a\sin {\frac {\beta }{2}}$, $l=2a\sin {\frac {\alpha }{2}}=2a\cos {\frac {\beta }{2}}$
Aire	$S={\frac {L\cdot l}{2}}$
	$S=a^{2}\sin \alpha =a^{2}\sin \beta$
	$S=2ah$
	$S={\frac {4h^{2}}{\sin \alpha }}={\frac {4h^{2}}{\sin \beta }}$
Rayon du cercle inscrit, ou apothème	$h={\frac {l}{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {a}{2}}\sin \alpha$, $h={\frac {l}{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}={\frac {a}{2}}\sin \beta$
	$h={\frac {L\cdot l}{p}}$
Rapport de l'aire du losange à l'aire du disque inscrit	${\frac {S}{\pi h^{2}}}={\frac {4}{\pi \sin \alpha }}$

Équation cartésienne

La courbe formée des côtés du losange de sommets $(\pm a,0)$ et $(0,\pm b)$ a pour équation cartésienne : $\left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.$

Il s'agit d'un cas particulier de courbe de Lamé, avec un exposant égal à 1.

Losanges remarquables

Nom du losange	Construction	Angle aigu	Angle obtus	Rapport longueur/largeur (format du rectangle circonscrit)	Figure
Carré	Quatre triangles isocèles rectangles	${\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }$	1
Grand losange du pavage de Penrose	Deux triangles d'argent accolés par la base	${\frac {2\pi }{5}}=72^{\circ }$	${\frac {3\pi }{5}}=108^{\circ }$	$\cot {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 1,38$	Losanges jaunes
Face du dodécaèdre rhombique		$2\operatorname {arccot} {\sqrt {2}}=\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70^{\circ }32'$	$2\arctan {\sqrt {2}}\approx 109^{\circ }28'$, angle tétraèdrique	${\sqrt {2}}\approx 1,41$
Losange d'or	Losange inscrit dans un rectangle d'or	$2\arctan {\frac {1}{\varphi }}=\arctan 2\approx 63,4^{\circ }$	$2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116,6^{\circ }$	$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,62$
Losange 60-120	Deux triangles équilatéraux accolés	${\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$	${\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }$	${\sqrt {3}}\approx 1,73$
	Losange inscrit dans un double carré	$2\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {4}{3}}\approx 53,1^{\circ }$	$2\arctan 2=\pi -\arctan {\frac {4}{3}}\approx 126,9^{\circ }$	2
Petit losange du pavage de Penrose	Deux triangles d'or accolés par la base	${\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }$	${\frac {4\pi }{5}}=144^{\circ }$	$\cot {\frac {\pi }{10}}={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 3,08$	Losanges bleus

Dans l'espace

La caractérisation du losange comme étant un parallélogramme impose qu'un losange soit une figure plane, mais il existe des quadrilatères dans l'espace ayant les quatre côtés de même longueur qui ne sont pas des losanges. On obtient de telles figures en faisant subir à deux côtés consécutifs d'un « vrai losange » une rotation autour de la diagonale correspondante.

Polyèdres à faces losanges

Rhomboèdre

Un polyèdre à faces losanges est dit "rhombique". Un polyèdre dont les six faces sont des losanges est appelé un rhomboèdre, mais il existe d'autres polyèdres rhombiques comme le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique.

Exemples dans la vie courante

Boite de calissons d'Aix.

Preuve visuelle du théorème des calissons.

Calissons

Les calissons ont une forme de losange arrondi, et sont présentés dans des boites en losange.

Par analogie avec la forme de ces friandises, on a appelé "théorème des calissons" la propriété de mathématiques récréatives suivante : les pavages d'un hexagone régulier de côté $n$ par des calissons (losanges de côté 1 d'angles 60°-120°) comportent le même nombre $n^{2}$ de calissons dans chacune des trois orientations possibles.

Il y a une preuve sans mots frappante de ce théorème. Il faut imaginer qu'on voit un cube vide de côté $n$ en perspective et qu'on le remplit de caisses cubiques de côté 1.

Logo de Renault

Logo de Renault en 1946

« La marque au losange » est une expression régulièrement utilisée pour désigner la marque automobile Renault, en référence à la forme de son logo.

Galerie de photos

• 
  Mosaïque de sol à Pella, capitale de l'ancien royaume de Macédoine.
• 
  Décoration en losanges sur le pignon du transept sud de l'église Saint-Julien de Chauriat, en Auvergne.
• 
  Vitrail de la métropole Saint-Pierre de Rennes
• 
  Toit rhomboïdal, église de l'Assomption à Andernach.
• 
  Marienkirche à Dortmund.
• 
  Sculpture de Victor Vasarely près de la gare de Budapest-Déli.

Notes et références

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Raute » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Jacques Hadamard, Lessons in geometry, Education Development Center, Inc, 2008 (ISBN 978-0-8218-4367-3 et 978-1-4704-1203-6)

Articles connexes

• Antenne losange
• Macle (cristallographie)
• Macle (héraldique)
• Losange d'or

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Store norske leksikon
  • Treccani
• Notices d'autorité :

  • GND