Nenumerebla aro

En matematiko, nenumerebla aro estas malfinia aro kiu enhavas tro multe da anoj por esti numerebla. La nenumerebleco de aro estas proksime rilatanta al ĝia povo (kardinalo): aro estas nenumerebla se ĝia povo estas pli granda ol tiu de aro de ĉiuj naturaj nombroj.

Estas multaj ekvivalentaj karakterizoj de nenumerebleco. Aro X estas nenumerebla se kaj nur se iu el jenaj kondiĉoj veras:

Ne ekzistas enĵeto de X al aro da naturaj nombroj.
X estas nemalplena kaj ĉiu ω-vico de eroj de X malsukcesas inkluzivi almenaŭ unu eron de X. Tio estas, X estas nemalplena kaj estas ne surĵeto de la naturaj nombroj al X.
Kardinalo de X estas nek finia nek egala al $\aleph _{0}$ (alef-nula, la kardinalo de la naturaj nombroj).
Kardinalo de X estas rigore pli granda ol $\aleph _{0}$ .

La unuaj tri el ĉi tiuj karakterizoj povas esti pruvitaj al esti ekvivalentaj en aroteorio de Zermelo-Fraenkel sen la aksiomo de elekto, sed la ekvivalenteco de la tria kaj kvara ne povas esti pruvita sen aldonaj elektaj principoj.

Propraĵoj

Se nenumerebla aro X estas subaro de aro Y, tiam Y estas nenumerebla.
Kunaĵo de du aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nenumerebla aro, estas nenumerebla aro. Plu, kunaĵo de ajna aro de aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nenumerebla aro, estas nenumerebla aro.
Diferenco de nenumerebla aro kaj numerebla aro estas nenumerebla aro.
Kartezia produto de du ne malplenaj aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nenumerebla aro, estas nenumerebla aro. Plu, (alprenante aksiomon de elekto) kartezia produto de ajna aro de ne malplenaj aroj, el kiuj almenaŭ unu estas nenumerebla aro, estas nenumerebla aro.

Ekzemploj

La plej bona sciata ekzemplo de nenumerebla aro estas la aro R de ĉiuj reelaj nombroj; diagonala argumento de Cantor montras ke ĉi tiu aro estas nenumerebla. La diagonala pruva maniero povas esti uzata ankaŭ por montri ke kelkaj aliaj aroj estas nenumereblaj, inter ili la aro de ĉiuj malfiniaj vicoj de naturaj nombroj; kaj eĉ la aro de ĉiuj malfiniaj vicoj konsistantaj nur el 0 kaj 1; kaj la aro de ĉiuj subaroj de la aro de naturaj nombroj. La kardinalo de R estas la kardinalo de kontinuumo kaj skribata kiel c aŭ $\beth _{1}$ aŭ $2^{\aleph _{0}}$ .

Aro C de ĉiuj kompleksaj nombroj kaj ĉiu aro Rⁿ de ĉiuj punktoj de n-dimensia eŭklida spaco estas nenumereblaj. Ĉi tio estas ĉar ĉiu el la aroj estas kartezia produto de pluraj kopioj de nenumerebla aro R.

Aro de ĉiuj neracionalaj nombroj estas nenumerebla. Ĉi tio estas ĉar ĝi estas diferenco de nenumerebla aro R kaj numerebla aro Q; kie Q estas aro de ĉiuj racionalaj nombroj.

Aro de ĉiuj transcendaj nombroj estas nenumerebla. Ĉi tio estas ĉar ĝi estas diferenco de nenumerebla aro C kaj numerebla aro de ĉiuj algebraj nombroj.

La aro de Kantor estas nenumerebla subaro de R. La aro de Kantor estas fraktalo kaj havas dimension de Hausdorff pli grandan ol 0 sed malpli grandan ol 1 (R havas dimension 1). Ĉi tio estas ekzemplo de tio ke ĉiu subaro de R de dimensio de Hausdorff severe pli granda ol 0 devas esti nenumerebla.

Alia ekzemplo de nenumerebla aro estas la aro de ĉiuj funkcioj de R al R. Ĉi tiu aro estas eĉ pli granda ol R, kardinalo de ĉi tiu aro estas $\beth _{2}=2^{\beth _{1}}$ (beth-du), kiu estas pli granda ol $\beth _{1}$ .

Pli abstrakta ekzemplo de nenumerebla aro estas la aro de ĉiuj numereblaj ordaj numeroj, skribata kiel Ω (omego) aŭ ω₁. La kardinalo de Ω estas $\aleph _{1}$ (alef-unu). Povas esti montrite, uzante la aksiomon de elekto, ke $\aleph _{1}$ estas la plej malgranda nenumerebla kardinalo. Tial la kardinalo de la reelaj nombroj $\beth _{1}$ estas egala al aŭ severe pli granda ol $\aleph _{1}$ . Sub la kontinuumo-hipotezo ili egalas inter si, $\aleph _{1}=\beth _{1}$ .

Sen la aksiomo de elekto

Sen la aksiomo de elekto, tie povas ekzisti kardinaloj nekompareblaj al $\aleph _{0}$ , konkrete, la kardinaloj de dedekindo-finiaj malfiniaj aroj. Aroj de ĉi tiuj kardinaloj kontentigas la unuajn tri karakterizadojn donitajn pli supre sed ne la kvaran karakterizadon. Ĉar ĉi tiuj aroj ne estas pli grandaj ol la aro de ĉiuj naturaj nombroj en la senco de kardinalo, oni povas ne deziri nomi ilin kiel nenumereblaj.

Se la aksiomo de elekto veras, jenaj kondiĉoj pri ĉiu kardinalo κ estas ekvivalentaj:

$\kappa \nleq \aleph _{0}$
$\kappa >\aleph _{0}$
$\kappa \geq \aleph _{1}$ , kie $\aleph _{1}=|\omega _{1}|$ kaj ω₁ estas la plej malgranda komenca orda numero pli granda ol ω

Tamen, ĉi tiuj kondiĉoj povas ĉiuj esti ne ekvivalentaj inter si se la aksiomo de elekto mankas. Tiel estas ne evidente kiu estas la adekvata koncepto de nenumerebleco se la aksiomo de elekto mankas. Povas esti plej bone eviti uzon de la vorto en ĉi tiu okazo kaj precizigi iun el ĉi tiuj signifoj.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Pruvo ke R estas nenumerebla