8、方程求根方法及相关程序详解

方程求根方法及相关程序详解

在数学和工程领域，求解方程的根是一个常见且重要的问题。本文将详细介绍几种方程求根的方法，包括牛顿 - 拉夫逊法、连续替代法等，并给出相关程序在不同编程语言中的实现和应用示例。

1. 牛顿 - 拉夫逊法基本原理

牛顿 - 拉夫逊法是一种迭代求解方程根的方法。对于方程 $F(X) = 0$，若已知根 $X_r$ 靠近猜测值 $X_g$，根据泰勒级数展开可得：
[F(X_r) = F(X_g) + F’(X_g)\Delta X + \frac{F’‘(X_g)(\Delta X)^2}{2!} + \cdots]
其中 $\Delta X = X_r - X_g$。当 $X_g$ 足够接近 $X_r$ 时，可忽略 $(\Delta X)^2$ 及更高阶项，得到：
[X_r = X_g - \frac{F(X_g)}{F’(X_g)}]
基于此，牛顿 - 拉夫逊迭代公式为：
[X_g^{(k + 1)} = X_g^{(k)} - \frac{F(X_g^{(k)})}{F’(X_g^{(k)})}]
其中 $k$ 为迭代计数器。迭代过程持续进行，直到满足条件 $|F(X_g^{(k)})| < \varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 为设定的容差。

2. FindRoot 程序及应用

为了方便求解方程的根，开发了名为 FindRoot 的交互式程序，支持 QuickBASIC、FORTRAN 和 MATLAB 等多种编程语言。该程序集成了增量搜索、二分搜索、线性插值和牛顿 - 拉夫逊四种方法。

2.1 QuickBASIC 版