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摘要：长方体是具有6个矩形面、12条棱和8个顶点的三维几何体，其对面平行且面积相等。体积和表面积计算公式分别为V=abc和S=2(ab+ac+bc)。示例展示了如何通过输入长、宽、高计算表面积和体积，并提供了JavaScript代码实现。该算法时间复杂度为O(1)，适用于日常物品如箱子、建筑物的计算。

本文介绍了球体的基本概念和计算方法。球体是三维空间中与中心点距离均为半径r的所有点的集合，自然界中常见如水滴、行星等。文章提供了计算球体体积（V=4/3πr³）和表面积（S=4πr²）的公式，并给出半径5和12时的计算示例（如半径5时体积523.60、表面积314.16）。同时附上JavaScript实现代码，时间复杂度为O(1)。文章以互动性结尾，邀请读者点赞评论。

本文介绍了圆锥的体积和表面积计算公式及示例。圆锥体积公式为V=1/3πr²h，表面积公式为A=πrs+πr²，其中r为底面半径，h为高，s为斜高。文章给出两个计算实例：当半径5、斜高13、高12时，体积314.159、表面积282.743；当半径6、斜高10、高8时，结果均为301.593。文末附有JavaScript实现代码，时间复杂度O(1)。

本文介绍了不同底面形状金字塔（三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥）的体积计算公式，并提供了JavaScript代码实现。通过输入底面边长和高，可快速计算出对应金字塔的体积，时间复杂度为O(1)。文章最后附有具体计算示例和结果输出，适合几何学习和编程实践参考。

摘要：椭球体是一种三维封闭几何体，其所有平面截面都是椭圆或圆形，具有三个相互垂直的对称轴。标准方程为x²/a²+y²/b²+z²/c²=1，体积公式为(4/3)πr1r2r3。当两个轴等长时为旋转椭球体，三轴等长则为球体。文中还提供了计算椭球体积的JavaScript代码示例，输出结果为186.15。椭球体在几何学和工程学中有广泛应用。

本文介绍了圆锥台（截头圆锥）的体积和表面积计算方法。圆锥台的体积公式为V=1/3*πh(r²+R²+rR)，曲面面积公式为CSA=πl(R+r)，总表面积公式为TSA=πl(R+r)+π(R²+r²)，其中r为小圆半径，R为大圆半径，h为高度，l为斜高。文章提供了两个计算示例和相应的JavaScript代码实现，演示了如何通过这些公式计算圆锥台的体积和表面积。最后附有示例代码的输出结果。

摘要：圆柱体作为三维图形没有严格意义的周长，但可以通过其侧面展开为矩形来计算"周长"。公式为P=2*(直径+高度)，示例中直径5、高度10时周长为30。文章提供了JavaScript代码实现，时间复杂度O(1)，并附有互动请求。该计算方法实为圆柱侧面展开矩形的周长求解。

摘要：本文介绍了如何根据平行四边形对边平行且相等的性质，通过已知三个顶点坐标求解缺失的第四个顶点D。方法一利用斜率与距离计算，通过求取与已知边平行且等长的点来确定D（时间复杂度O(log logn)）。更高效的替代方法直接使用向量运算公式：D(A+C-B)（时间复杂度O(1)）。示例验证了两种方法的正确性，如输入A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)时输出D(0,0)。算法适用于任意三点组合，可输出多种可能解中的任意一个。

本文介绍了如何通过给定点坐标和斜率，计算距离该点为L的两个点坐标的方法。算法针对三种斜率情况分别处理：斜率为0时调整x坐标，斜率为无限大时调整y坐标，其他情况通过公式计算。文中提供了JavaScript实现代码，时间复杂度为O(1)，适用于各种编程语言转换。该方法可应用于几何计算、图形处理等领域。

给定矩形两条对边AD和BC的中点坐标(p,q)及长度L，求矩形四个顶点的坐标。分为三种情况处理：1)水平矩形，2)垂直矩形，3)倾斜矩形。前两种情况通过简单几何计算即可，倾斜情况需先计算斜率m，再利用距离公式求出位移dx和dy，最终确定四个顶点的坐标。算法时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)。示例展示了水平和倾斜两种情况的计算结果。

本文介绍了两种判断二维空间中四个点能否构成平行四边形的方法。第一种方法基于对角线中点性质，通过计算所有点对的中点并统计出现次数进行判断。若恰好有一个中点出现两次而其他中点出现一次，则构成平行四边形。第二种方法采用向量运算，通过计算向量间的叉积来验证对边是否平行。文章提供了详细的JavaScript代码实现和示例，时间复杂度为O(p²logp)，空间复杂度为O(p²)。该方法可扩展用于判断其他四边形类型，如正方形和长方形。

本文介绍了如何判断四条线段能否构成矩形。方法包括：1)检查线段端点是否构成4个不同点；2)计算所有点对间距离，应得到3种距离（两个边长和一个对角线）；3)验证这些距离是否满足勾股定理。文章提供了JavaScript实现代码，时间复杂度为O(n²logn)。示例显示，当线段端点形成矩形顶点时返回"是"，否则返回"否"。该方法适用于任何编程语言，可扩展用于验证其他多边形。

本文介绍了如何判断平面上四个点是否构成正方形的方法。通过计算点之间的距离平方（避免开方运算），检查三个条件：1）四条边长度相等；2）存在两条边夹角为90度；3）两条对角线长度相等。给出了JavaScript实现代码，通过比较基准点到其他三点的距离关系来判断。示例验证了输入点(20,10)、(10,20)、(20,20)、(10,10)能构成正方形。算法时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)。

摘要：本文探讨如何根据四边形四条边长求最大面积。当四边形为圆内接四边形时，面积最大，此时可使用Brahmagupta公式计算：先求半周长s=(a+b+c+d)/2，再计算面积K=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]。文中给出了JavaScript实现代码，时间复杂度O(logn)，空间复杂度O(1)。示例输入1,2,1,2时输出2.00。该方法适用于任意四边形，当对角和为180度时面积最大化。

摘要：文章探讨了如何通过三个给定坐标点构建平行四边形。通过分析三种可能的边与对角线组合（AB-AC-BC、AB-BC-AC、BC-AC-AB），证明了三种平行四边形构造方式。使用向量运算推导出第四个点的坐标公式（Dx=Ax+Cx-Bx，Dy=Ay+Cy-By），并通过示例验证了该方法。文末提供了JavaScript实现代码，时间复杂度为O(1)，并邀请读者提出优化建议。该算法适用于平面几何中的平行四边形构造问题。

摘要：梯形是至少有一对平行边的凸四边形，平行边称为底边，其他两边称为腿。其面积计算公式为（底1+底2）×高÷2。示例展示了用JavaScript计算梯形面积的代码实现，时间复杂度为O(1)。计算结果如输入8、10、6时面积为54。该几何概念简单实用，适用于基础数学计算。

梯形是一种至少有一对边平行的四边形，平行边称为底，其他两边为腿，两底间的垂直距离为高。梯形面积公式为0.5*(a+b)*h，周长公式为a+b+c+d。示例计算显示：当a=5,b=6,c=4,d=3,h=8时，面积为44，周长为18；当a=10,b=15,c=14,d=11,h=21时，面积为262.5，周长为50。文末提供了JavaScript实现代码，计算复杂度均为O(1)。

本文介绍了在ASP.NET Core中创建WebSocket API的完整步骤。首先需要创建API项目并在Startup中启用WebSocket支持；然后实现WebSocketHandler类处理连接和消息收发；接着创建WebSocket控制器接受连接请求；最后配置依赖注入并测试API。文章提供了详细的代码示例，包括消息处理逻辑和JavaScript测试客户端代码，帮助开发者快速构建实时通信功能。

本文介绍了WebSocket协议及其在客户端与服务器通信中的应用。WebSocket通过持久连接实现双向数据交换，适用于实时交互场景。文章详细说明了WebSocket的握手过程、四个核心事件（onopen、onmessage、onerror、onclose）和两个主要方法（send、close）。同时提供了基于Asp.Net MVC Core的WebSocket实现步骤，包括创建Web应用程序、添加JavaScript代码、配置Startup.cs和HomeController等关键环节。通过示例演示了We

摘要：本文介绍了平行四边形周长的计算方法，其公式为(2a)+(2b)，其中a和b为相邻边长。通过JavaScript代码示例演示了计算过程，如输入a=10、b=8时输出周长36。该算法具有O(1)的时间复杂度和辅助空间复杂度，适用于快速计算平行四边形周长。（97字）

摘要： 计算n条水平平行线与m条垂直平行线相交时形成的平行四边形总数。该问题可通过组合数学解决，即从n条线中选2条水平线（nC2）与m条线中选2条垂直线（mC2）的组合数相乘。公式为：(n*(n-1)/2)(m(m-1)/2)。例如，n=5、m=5时输出100。优化后时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)。

在本文中，我们探讨了如何在 .NET Core 与 React 应用程序中使用 WebSocket 和 SignalR 实现实时数据传输。利用 SignalR，您可以轻松实现客户端和服务器之间的实时通信，使其成为构建交互式协作 Web 应用程序的理想选择。无论您是构建聊天应用程序、实时仪表板还是多人游戏，SignalR 都能提供向用户提供实时更新所需的工具。

本文详细介绍了使用React和WebSocket构建实时聊天应用的完整流程。首先通过Node.js的ws包创建WebSocket服务器端，实现消息的广播功能；然后使用React构建前端界面，通过WebSocket API实现与服务器的双向通信。文章包含具体代码示例，从项目初始化到组件开发的每个步骤，并提供了界面样式说明和测试方法。最后建议了用户认证、消息存储等生产环境增强功能。该指南为开发者提供了实现Web实时通信的实用解决方案，适用于构建消息平台等需要即时交互的应用场景。

摘要： 本文介绍了一种使用角度扫描算法（Angular Sweep）解决二维平面内定半径圆包含最多点数的优化方法。给定n个点和半径R，算法通过旋转圆并动态维护圆内点计数，将时间复杂度从朴素算法的O(n³)优化至O(n²logn)。核心步骤包括：计算点对距离，确定每个点作为旋转中心时的进入/退出角度，排序后统计最大点数。JavaScript实现展示了算法流程，空间复杂度为O(n)。该方法高效解决了几何覆盖问题，适用于大规模点集分析。

本文介绍了如何在TypeScript和React中使用Socket.IO构建更复杂的聊天应用，包含用户房间功能。作者通过对比之前基于ws库的项目，展示了Socket.IO的优势：内置房间管理、消息确认和重试机制。文章详细讲解了后端实现（Express+PostgreSQL）和前端集成（React），包括用户认证、房间加入/离开逻辑以及消息传递机制。特别强调了Socket.IO特有的功能如事件确认回调、自动重试和连接恢复，并提供了相关代码示例。最后指出下一步可改进的方向，如水平扩展和部署方案。

本文介绍了如何使用TypeScript和React创建基于WebSocket的简易聊天应用。作者通过monorepo结构搭建了包含客户端和服务端的项目，后端使用ws库和PostgreSQL数据库存储消息，前端通过isomorphic-ws连接WebSocket服务器。文章详细讲解了WebSocket服务器的搭建过程、消息广播机制以及客户端如何接收和显示消息。作者还分享了开发过程中遇到的挑战，如连接稳定性和消息渲染问题，并提出了改进方向（如心跳机制、用户管理）。该项目不仅实现了基础聊天功能，也为后续学习更复杂

本文介绍了两种方法求解包含至少k个点的最小圆半径问题。第一种方法通过计算各点到圆心的欧氏距离平方，排序后取第k个值，时间复杂度O(nlogn)。第二种采用二分查找，在0到最大点间距范围内搜索最小半径，每次验证是否存在k个点在候选半径圆内，时间复杂度O(n²logr)。两种方法均以(0,0)为圆心，最终输出半径的平方值。示例展示了输入点[(1,1),(-1,-1),(1,-1)]且k=3时，输出结果为2，对应半径√2的圆。文章提供了完整的JavaScript实现代码。

摘要：计算正方形外接圆面积的公式为(πa²)/2，其中a为正方形边长。推导过程：外接圆半径等于正方形对角线的一半，即r=(a√2)/2，代入圆面积公式πr²即得结果。示例：当a=6时，面积≈56.55。该方法时间复杂度为O(1)，高效直接。

本文介绍了如何计算给定半径的圆的面积，并确保结果精确到小数点后5位。使用公式面积=π*r²，其中π取值为3.14159265358979323846。通过示例代码展示了如何实现这一计算，并强调了其时间复杂度和辅助空间均为O(1)。文章还鼓励读者收藏、点赞和评论，以表达对内容的喜爱。

本文介绍了如何判断一条直线与圆的位置关系。通过计算圆心到直线的垂直距离，并与圆的半径进行比较，可以确定直线与圆是否相交、相切或位于圆外。具体步骤包括：1）使用公式计算圆心到直线的距离；2）将该距离与半径进行比较，若距离大于半径，则直线在圆外；若等于半径，则直线与圆相切；若小于半径，则直线与圆相交。文章还提供了JavaScript代码示例，展示了如何实现这一算法。该方法的时间复杂度为O(log(a²+b²))，辅助空间复杂度为O(1)。

2 * r * Sin(X/2)高= OP = r * Cos(X/2)三角形面积= 1/2 * (2 * r * Sin(X/2)) * (r * Cos(X/2))因此线段面积= pi * r 2 * (角度/360) - 1/2 * r 2 * Sin(角度)Cos(X/2) = OP/AO 即 OP = AO * Cos(X/2)Sin(X/2) = AP/AO 即 AP = AO * Sin(X/2)三角形 AOB 的面积= 1/2 * 底边 * 高。在上图中，假设扇区形成的角度 = X，

在该图中，绿色阴影部分是扇形，“r”是半径，“theta”是角度，如图所示。在这里，我们可以说阴影部分是小扇形，而其他部分是大扇形。“L”是扇形的弧度。圆形扇区或圆形扇区是圆盘上由两个半径和一个圆弧围成的部分，其中较小的区域称为小扇区，较大的区域称为大扇区。扇形面积的计算方法与圆面积的计算方法类似，只需用圆面积乘以扇形的角度即可。扇区 = ( pi * 20*20 ) * ( 145 / 360 )扇区 = ( pi * 9*9 ) * ( 60 / 360 )现在让我们看看计算圆的扇形的公式。

有两个圆 A 和 B，圆心分别为C1(x1, y1)和C2(x2, y2)，半径分别为R1和R2。任务是检查圆 A 和 B 是否相互接触。4、如果C1C2 == R1 + R2：圆 A 和 B 相互接触。1、如果C1C2 <= R1 – R2：圆 B 位于 A 内。2、如果C1C2 <= R2 – R1：圆 A 位于 B 内。3、如果C1C2 < R1 + R2：圆互相相交。5、否则，圆 A 和圆 B 不重叠。输入： C1 = (3, 4)输入： C1 = (2, 3)输入： C1 = （-10，8）

2、那么角度必须介于 StartingAngle(起始角) 和 EndingAngle(终止角) 之间，并且半径必须介于 0 和您的半径之间。1、使用这个将 x, y 转换为极坐标角度 = atan(y/x);半径 = sqrt(x * x + y * y);在此图像中，起始角度为 0 度，半径为 r，假设彩色区域百分比为 12%，则我们计算结束角度为360/百分比 + 起始角度。我们有一个以原点 (0, 0) 为中心的圆。作为输入，我们给出了圆扇区的起始角度和圆扇区的大小（以百分比表示）。

在圆中，圆边界上的点与圆心的距离相同。圆的周长可以用以下公式简单计算。Circumference(周长) = 31.415。给定圆的半径，编写程序来查找其周长。，pi 的值 = 3.1415。输出：周长 = 12.566。输出：周长 = 50.264。，因为没有占用额外的空间。周长 = 2*pi*r。，其中 r 是圆的半径。，因为没有循环或递归。

我们可以说，对于 N*1，将有 N + (N-1) + (n-2) …+ 1 = (N)(N+1)/2 个矩形。对于 N*M 我们有 (M)(M+1)/2 (N)(N+1)/2 = M(M+1)(N)(N+1)/4。N*M 网格可以表示为 (N+1) 条垂直线和 (M+1) 条水平线。如果网格是 3×1，则会有 3 + 2 + 1 = 6 个矩形。所以总矩形的公式将是 M(M+1)(N)(N+1)/4。如果网格是 2×1，则会有 2 + 1 = 3 个矩形。所以 N×2 = 3 (N)(N+1)/2。

对于 m = n = 4，输出 16 + 9 + 4 + 1 [ 16 个大小为 1×1 + 9 个大小为 2×2 + 4 个大小为 3×3 + 1 个大小为 4×4 ]m = n = 3，输出：9 + 4 + 1 [ 9 个大小为 1×1 + 4 个大小为 2×2 + 1 个大小为 3×3 ]当 n 为较大维度时，总方块数 = mx (m+1) x (2m+1)/6 + (nm) xmx (m+1)/2。因此，方格总数为 m(m+1)(2m+1)/6 + (nm)*m(m+1)/2。

首先，我们检查线段的唯一端点总数，如果这些点的数量不等于 4，则线段不能构成矩形。然后我们检查所有点对之间的距离，最多应该有 3 个不同的距离，一个用于对角线，两个用于边，最后我们将检查这三个距离之间的关系，对于构成矩形的线段，这些距离应该满足勾股关系，因为矩形的边和对角线构成直角三角形。如果它们满足上述条件，那么我们将线段构成的多边形标记为矩形，否则不是。输入：segment[] = [(7, 0), (10, 0),输入：segment[] = [(4, 2), (7, 5),这些线段不能组成矩形。

要形成正方形，两个点与“p”的距离必须相同，设该距离为 d。与一个点的距离必须不同于 d，并且必须等于 d 的 2 倍。输入： p1 = { 20, 10 }, p2 = { 10, 20 }, p3 = { 20, 20 }, p4 = { 10, 10 }输入： p1 = { 20, 20 }, p2 = { 10, 20 }, p3 = { 20, 20 }, p4 = { 10, 10 }我们还需要检查 q 是否与其他 2 个点的距离相同，并且该距离与 d 相同。a) 由点形成的所有四条边都相同。

我们需要编写一个函数bool doOverlap(l1, r1, l2, r2)，如果两个给定的矩形重叠，则返回 true。一种解决方案是逐个选取一个矩形的所有点，然后查看该点是否位于另一个矩形内。2 ) 一个矩形位于另一个矩形左边缘的左侧。注意，一个矩形可以用两个坐标表示，左上角和右下角。1 ) 一个矩形位于另一个矩形的上边缘上方。给定两个矩形，判断这两个矩形是否重叠。l1 ：第一个矩形的左上角坐标。r1 ：第一个矩形的右下角坐标。l2 ：第二个矩形的左上角坐标。r2 ：第二个矩形的右下角坐标。